2023届北京市海淀区高考二模数学试题

海淀区2022-2023学年第二学期期末练习 高三数学 本试卷共6页,150分.考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题 共40分) 一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1.已知集合,则( ) A. B. C. D. 2.在平面直角坐标系中,角以为始边,其终边经过点,则( ) A. B. C.2 D. 3.若的展开式中常数项为32,则( ) A.5 B.6 C.7 D.8 4.下列函数中,既是奇函数又在区间上单调递增的是( ) A. B. C. D. 5.已知等差数列的前n项和为,,则的最大值为( ) A.7 B.6 C.5 D.4 6.已知抛物线,经过点P的任意一条直线与C均有公共点,则点P的坐标可以为( ) A. B. C. D. 7.芯片是科技产品中的重要元件,其形状通常为正方形.生产芯片的原材料中可能会存在坏点,而芯片中出现坏点即报废,通过技术革新可以减小单个芯片的面积,这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片,同时可以提高芯片生产的产品良率. 在芯片迭代升级过程中,每一代芯片的面积为上一代的.图1是一块形状为正方形的芯片原材料,上面有4个坏点,若将其按照图2的方式切割成4个大小相同的正万形,得到4块第3代芯片,其中只有一块无坏点,则由这块原材料切割得到第3代芯片的产品良率为.若将这块原材料切割成16个大小相同的正方形,得到16块第5代芯片,则由这块原材料切割得到第5代芯片的产品良率为( ) A. B. C. D. 8.已知正方形ABCD所在平面与正方形CDEF所在平面互相垂直,且,P是对角线CE的中点,Q是对角线BD上一个动点,则P,Q两点之间距离的最小值为( ) A.1 B. C. D. 9.已知是平面内两个非零向量,那么“”是“存在,使得”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 10.已知动直线l与圆交于A,B两点,且.若l与圆相交所得的弦长为t,则t的最大值与最小值之差为( ) A. B.1 C. D.2 第二部分 (非选择题 共110分) 二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。 11.在复平面内,复数z所对应的点为,则_. 12.已知双曲线C经过点,渐近线方程为,则C的标准方程为_. 13.如图,在中,D是边BC上一点,,则_;的面积为_. 14.设函数. ①若,则不等式的解集为_; ②若,且不等式的解集中恰有一个正整数,则m的取值范围是_. 15.在数列中,.设向量,已知, 给出下列四个结论: ①;②;③;④.其中所有正确结论的序号是_. 三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16.(本小题13分) 已知函数,且. (I)求a的值和的最小正周期; (Ⅱ)求在上的单调递增区间. 17.(本小题14分) 某大学A学院共有学生1000人,其中男生640人,女生360人.该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况,按性别分层抽样,从该学院所有学生中抽取若干人作为样本,对样本中的每位学生在5月份的累计跑步里程进行统计,得到下表. 跑步里程s() 男生 a 12 10 5 女生 6 6 4 2 (I)求a的值,并估计A学院学生5月份累计跑步里程s()在中的男生人数; (Ⅱ)从A学院样本中5月份累计跑步里程不少于的学生中随机抽取3人,其中男生人数记为X,求X的分布列及数学期望; (Ⅲ)该大学B学院男生与女生人数之比为,B学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况,也按性别进行分层抽样.已知A学院和B学院的样本数据整理如下表. 5月份累计跑步里程平均值(单位:) 学院 性别 A B 男生 50 59 女生 40 45 设A学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为,B学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为,是否存在,使得?如果存在,求的最大值;如果不存在,说明理由. 18.(本小题13分) 如图,在四棱锥中,平面ABCD,底面ABCD为菱形,E,F分别为AB,PD的中点. (I)求证:EF∥平面PBC; (Ⅱ)若,二面角的大小为,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.求PD的长. 条件①:;条件②:. 注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分. 19.(本小题15分) 已知椭圆的左顶点为A,上、下顶点分别为,直线的方程为. (I)求椭圆E的方程及离心率; (Ⅱ)P是椭圆上一点,且在第一象限内,M是点P关于x轴的对称点.过P作垂直于y轴的直线交直线于点Q,再过Q作垂直于x轴的直线交直线于点N.求的大小. 20.(本小题15分) 已知函数 (I)求曲线在点处的切线方程;