精品解析：江西鹰潭市余江区第一中学2026届高三下学期第二次模考数学试题

余江一中2026届高考第二次模考数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首先求出集合、，再根据交集的定义计算可得； 【详解】解：因为所以，，所以，所以 故选：D 【点睛】本题考查交集的运算，属于基础题. 2. 若，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的乘除法运算化简复数，再由复数的几何意义可得出答案. 【详解】由题意得，， 故复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限， 故选：. 3. 已知直线与平行，则实数的值为（ ） A. 或0 B. C. 或2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，得，或.当时，重合，不符合题意，当时，即得. 【详解】由题意，可得，或， 当时，，，此时重合，不符合题意； 当时，，，，符合题意. 故选：D 4. 等比数列的前项和为，，则“”是“对，”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分析讨论即可得. 【详解】等比数列的前项和为，， 当时，即公比，则数列为各项均为正数的递增数列， 则有，成立； 当时，则也是各项均为正数的等比数列，此时， 则“”是“对，”成立的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知抛物线恰好经过圆的圆心，则的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心坐标，将圆心坐标代入抛物线方程，将抛物线方程化为标准方程，即可得出抛物线的准线方程. 【详解】圆的圆心为， 将圆心的坐标代入抛物线的方程得，解得， 故抛物线的方程为，标准方程为， 则，所以，，故抛物线的准线方程为. 故选：C. 6. 已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义及导数可得函数为R上单调递增的奇函数，化简不等式，然后将分离，利用基本不等式，即可求出答案. 【详解】因为的定义域为R， ， 所以函数是奇函数， 由， 可知在上单调递增， 所以函数为R上单调递增的奇函数， 所以不等式对任意均成立等价于 ， 即，即对任意均成立， 又，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为. 故选：A. 7. 已知一个圆台内接于球（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆台表面积得母线长和圆台的高，由勾股定理求出球的半径，可计算体积. 【详解】设圆台母线长为l，上、下底面半径分别为和， 则圆台侧面积为， 上、下底面面积分别为和. 由圆台表面积为，得， 所以圆台高， 设球半径为， 圆台轴截面为等腰梯形，且，高为1. 作于点， 设，由，则球心在圆台外部. 则有，解得， 所以球的体积为. 故选：C. 8. 已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将不等式变形为，根据的单调性得，再用常数分离法求出的取值范围. 【详解】由得， 即 ， 令，，则， 所以在上单调递增， 而等价于， ∴，即， 令，，则， 所以在时，，递增； 在时，，递减， 所以最大值为，∴． 故选：C 【点睛】方法点睛：同构法解不等式恒成立求参数范围问题时先将原不等式化成 后再利用函数单调性得到与的大小关系，由此得到参数范围. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病是否有关，调查了400人，得到如图所示的列联表，其中，则（ ） 患疾病 不患疾病 合计 过量饮酒 不过量饮酒 合计 400 参考公式与临界值表： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 A. 任意一人不患疾病的概率为0.9 B. 任意一人不过量饮酒的概率为 C. 任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病的概率为 D. 依据小概率值的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病有关 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出，利用古典概型概率公式求解判断AB，利用条件概率概念求解判断C，求出的观测值，即可判断D. 【详解】由已知得，又，所以. 任意一人不患疾病的概率为，所以A正确； 任意一人不过量饮酒的概率为，所以B错误； 任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病的概率为，所以C正确； 对于D，列联表如下： 患疾病 不患疾病 合计 过量饮酒 30 120 150 不过量饮酒 10 240 250 合计 40 360 400 则的观测值，由于， 依据小概率值的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病有关，所以D正确. 故选：ACD 10. 已知递增数列的各项均为正整数，且其前项和为，则（ ） A. 存在公差为1的等差数列，使得 B. 存在公比为2的等比数列，使得 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】运用公式法计算A，B选项，根据数列的性质推导C，D选项. 【详解】对于A，设数列的首项为，则 ，解得 ， 即当等差数列的首项为138，公差为1时， ，正确； 对于B，设首项为 ，则 ，正确； 对于C，欲使得尽可能地大，不妨令 ，则有 ， 又 ，即 ， ， 即 ，正确； 对于D， ， ，即 ， 比如， ， 则 ，D错误； 故选：ABC. 【点睛】思路点睛：数列中与整数有关的不等式或方程问题，注意利用整数的性质来处理. 11. 定义“01数列”如下：①，；②共有项（，），其中项为0，项为1，且对任意的，，中0的个数不少于1的个数. 记“01数列”的个数为，则（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据“01数列”新定义和计数原理的知识点，进行排列即可求解. 【详解】对于选项A，因为中0的个数不少于1的个数，所以“01数列”是01010,01001,00110,00011,00101，则个数为5个，故A正确； 对于选项B，由题意知，，可以表示01010011,01010101,01001101,01001011,01000111,00110011,00110101,00101011,00100111,00011101,00001111，，则，所以，故B错误； 对于选项C，理由同选项D，因为，所以不存在，则，故C正确； 对于选项D，当时，可以分类以0结尾和以1结尾前者为，确定末尾为0，则少个0，个0与个1进行组合，后者对应，确定末尾为1，则少个1，前面个0与个1进行组合，因此，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】根据“01数列”新定义进行排列，与计数原理的知识点相结合，即可求解. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知椭圆，点P是椭圆上的动点，定点A的坐标为，则的最小值为____________ 【答案】## 【解析】 【分析】令且，应用两点距离公式及点在椭圆上得到关于的函数，即可求最值. 【详解】令且，则， 而，故， 所以，当时，. 故答案为： 13. 已知函数，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】将函数解析式利用和角公式展开，运用降幂公式和辅助角公式将其化成正弦型函数，再结合正弦函数的图象即可求得. 【详解】由 ， 因，故， 当且仅当时，即时，. 故答案为：. 14. 已知棱长为的正四面体，为的中点，动点满足，平面经过点，且平面平面，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为_________. 【答案】 【解析】 【分析】设的外心为，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，根据可求得点轨迹是以为球心，为半径的球；延长到点，使得，，，由面面平行的判定可证得平面平面，则平面为平面，可知点到平面的距离即为点到直线的距离，由向量坐标运算可知，得到，由此可求得截面圆半径，利用圆周长的求法可求得结果. 【详解】设的外心为，的中点为，过作的平行线，则以为坐标原点，可建立如图所示空间直角坐标系， 为等边三角形，，，， ，，， 设，由得：， 整理可得：， 动点的轨迹是以为球心，为半径的球； 延长到点，使得，，， 则，，又平面，平面， 平面，平面，由，平面， 平面平面，即平面为平面， 则点到平面的距离即为点到直线的距离， ，，，即， 点到直线的距离， 截面圆的半径，球被平面截得的截面圆周长为， 即平面截点的轨迹所形成的图形的周长为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的动点轨迹相关问题的求解，解题关键是能够利用空间向量法求得动点所满足的轨迹方程，从而确定动点轨迹为球，利用平面截球所得截面圆周长的求法可求得结果. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. AI智能客服机器人全天在线，能节省以上的人工成本，某人工智能研究实验室开发出一款AI客服机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来解答人们的问题.AI客服机器人的开发主要采用自然语言处理、语言识别与合成等技术.在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为；当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为.已知输入的问题出现语法错误的概率为. （1）求输入的问题被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了个问题，以表示输入的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列为 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式进行计算； （2）根据二项分布的概率公式求概率及分布列. 【小问1详解】 由已知设事件：输入的问题没有语法错误；事件：回答被采纳； 则； 【小问2详解】 由已知某次测试中输入了个问题，以表示输入的问题中回答被采纳的问题个数， 则， 则； ； ； ； ； ； 则分布列为 期望. 16. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.动点分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记. （1）求证：平面； （2）将的长用表示，并求其最小值； （3）当平面与平面夹角为时，求的长. 【答案】（1）证明： 因为为正方形，所以， 又平面平面，且平面平面，所以平面 （2），最小值为； （3） 【解析】 【分析】（1）可证平面平面，利用面面垂直的性质可证线面垂直； （2）以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，求得、、、、、的坐标，直接由两点间的距离公式可得，利用配方法求最值即可； （3）求出两平面的法向量，根据面面夹角列方程求出参数，然后代入（2）可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系，， 分别作，垂足分别为， 易知，因为，由相似比可得， 所以； 所以，当时，最小，最小值为； 【小问3详解】 由上得. 设平面与平面的法向量分别为， 则， . 令，得， 令，得， 因为平面与平面夹角，所以， 即，解得（增根已舍去）， 所以此时. 17. 已知双曲线C：．的离心率为，点在双曲线C上，过C的左焦点F的直线l与C的左支相交于A，B两点，且l分别交C的两条渐近线于M，N两点． （1）求双曲线C的方程； （2）若O是坐标原点，，求的面积； （3）已知点，直线AP交直线于点Q，设直线QA，QB的斜率分别，，求证：为定值． 【答案】（1） （2）32 （3）证明：由题意设直线l的方程为，设，， 由直线AP：，得，则， 又， 所以 ． 由，消去x，得，其中， 则，，，所以． 因为，所以， 所以，即为定值． 【解析】 【分析】（1）由双曲线离心率及点在双曲线C上可得双曲线方程； （2）设，，将直线l与双曲线渐近线方程联立可得， 然后设直线l的倾斜角为，由，可得，即可得答案； （3）由题意设直线l的方程为，设，，由题可表示出，再将直线l方程与双曲线方程联立，由韦达定理可得，结合，可完成证明. 【小问1详解】 （1）由双曲线C的离心率为，且点在双曲线C上， 可得，解得，，所以双曲线C的方程为 【小问2详解】 设，，由（1）可知双曲线C的左焦点为，所以可设直线l的方程为， 当时，易知，不合题意，故． 由，即，消去x，得，其中， 所以． 记直线l的倾斜角为，由，得， 由，得，解得（舍去）或， 所以，故． 【小问3详解】 略. 【点睛】关键点睛：对于解析几何中的三角形面积问题，可对面积进行适当分割，将其分为一边与坐标轴垂直三角形面积之和或之差；对于定值问题，常见思路为找到定值关于所设参数的表达式，再说明定值取值与参数无关. 18. 已知a为常数，函数. （1）当时，求的图象在处切线方程； （2）讨论函数的零点个数； （3）若函数有两个极值点，（），求证. 【答案】（1） （2）当时，无零点； 当或时，有且只有一个零点； 当时，有且只有两个不同的零点. （3）的定义域为，而， 由题设可得有两个变号零点， 设，故在上有两个变号零点， 而， 若，则在上为增函数，在上至多一个零点，舍； 若， 当时，；当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 故， 所以即，而，且，故. 又，而， 故， 因为，故，故， 要证：，即证， 即证：在上恒成立. 设，则， 故在上为减函数，故即成立. 综上，. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，从而得到切线的斜率，故可得切线方程； （2），，则函数的零点个数等价于零点的个数，利用导数讨论的单调性并结合零点存在定理可判断零点的个数. （3）求出的导数，利用零点存在定理可得，从而可证. 【小问1详解】 当时，，故， 而，故， 故的图象在处切线方程为即. 【小问2详解】 的定义域为， 的零点等价于的解即的解， 令，，故， 当时，，故在上为增函数， 而，， 故在上有且只有一个实数解，即有且只有一个零点， 当时，当时，；当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 故， 若即，此时，故无零点，故无零点. 若即，此时， 故有且只有一个零点，故有且只有一个零点. 若即，此时. 而，故在有且只有一个零点； 又， 设，则，故在上为减函数， 故， 因为，故，而， 故在有且只有一个零点； 故此时有且只有两个不同的零点即有且只有两个不同的零点. 综上，当时，无零点； 当或时，有且只有一个零点； 当时，有且只有两个不同的零点. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：函数零点个数的判断，需利用导数讨论其单调性，再结合零点存在定理判断个数，后者需注意特殊点的选取，一方面要满足特殊点与极值点的大小，而且函数值要容易计算，必要时利用导数判断符号. 19. 记的内角的对边分别为.，，.已知，且. （1）证明：均为无穷数列； （2）若，求的通项公式； （3）当时，对于任意，的周长均小于，求的最小值. 【答案】（1）设，，， 则. 故 . 即，同理，. 故对于任意，以三边为边长始终可构成三角形， 故均为无穷数列. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合和差公式证明始终可以构成三角形即可； （2）先证为最大角，然后利用余弦定理，结合正弦定理角化边，再利用和差公式化简得，结合余弦函数性质，利用构造法即可求解； （3）求出的通项及范围，表示出周长，先以为自变量求导，根据单调性放缩，然后再以为自变量求导，利用单调性放缩可得，最后证明为的最小值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由余弦定理，，又，故. 由于，故，则， 又， 若存在，使首次不满足关系式， 由于，，则. 若，即，由于，且，则， 且只能满足，即， 又，故，， 则，与三角形内角和矛盾； 若，即，同理，，且只能满足， ，即，解得，矛盾； 综上，不存在不满足关系式，即恒成立， 则必为中的最大角，则. 中，余弦定理有， 接下来对式子进行化简. 由于，则， 故， 且， 则 故， 又，，且余弦函数在上单调， 故，即，则， 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列，即， 故的通项公式为. 【小问3详解】 由（2）证明过程可知， 同理可得，， 由于，故由正弦定理易有，则，即，当时，. 同理有，. 设当时，的周长， 则， ， 由（2）可知，故，在，时单调递增， 则. 设，， 由于，且， 故，在，时单调递减. 则，故可取. 下面证明，是的最小值. 若，则. 只需证明存在，使. 不妨设，则，. 则此时， 令，则， 记，， 由零点存在性定理，存在，使得， 令，则，， 故只需取，即即可. 综上，的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 余江一中2026届高考第二次模考数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 2. 若，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知直线与平行，则实数的值为（ ） A. 或0 B. C. 或2 D. 2 4. 等比数列的前项和为，，则“”是“对，”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知抛物线恰好经过圆的圆心，则的准线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个圆台内接于球（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病是否有关，调查了400人，得到如图所示的列联表，其中，则（ ） 患疾病 不患疾病 合计 过量饮酒 不过量饮酒 合计 400 参考公式与临界值表： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 A. 任意一人不患疾病的概率为0.9 B. 任意一人不过量饮酒的概率为 C. 任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病的概率为 D. 依据小概率值的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病有关 10. 已知递增数列的各项均为正整数，且其前项和为，则（ ） A. 存在公差为1的等差数列，使得 B. 存在公比为2的等比数列，使得 C. 若，则 D. 若，则 11. 定义“01数列”如下：①，；②共有项（，），其中项为0，项为1，且对任意的，，中0的个数不少于1的个数. 记“01数列”的个数为，则（ ） A. B. C. D. 当时， 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知椭圆，点P是椭圆上的动点，定点A的坐标为，则的最小值为____________ 13. 已知函数，则的最小值为________. 14. 已知棱长为的正四面体，为的中点，动点满足，平面经过点，且平面平面，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为_________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. AI智能客服机器人全天在线，能节省以上的人工成本，某人工智能研究实验室开发出一款AI客服机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来解答人们的问题.AI客服机器人的开发主要采用自然语言处理、语言识别与合成等技术.在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为；当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为.已知输入的问题出现语法错误的概率为. （1）求输入的问题被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了个问题，以表示输入的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望. 16. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.动点分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记. （1）求证：平面； （2）将的长用表示，并求其最小值； （3）当平面与平面夹角为时，求的长. 17. 已知双曲线C：．的离心率为，点在双曲线C上，过C的左焦点F的直线l与C的左支相交于A，B两点，且l分别交C的两条渐近线于M，N两点． （1）求双曲线C的方程； （2）若O是坐标原点，，求的面积； （3）已知点，直线AP交直线于点Q，设直线QA，QB的斜率分别，，求证：为定值． 18. 已知a为常数，函数. （1）当时，求的图象在处切线方程； （2）讨论函数的零点个数； （3）若函数有两个极值点，（），求证. 19. 记的内角的对边分别为.，，.已知，且. （1）证明：均为无穷数列； （2）若，求的通项公式； （3）当时，对于任意，的周长均小于，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $