专题6.4 空间向量的应用（4类必考点）-2022-2023学年高二数学必考点分类集训系列（苏教版2019选择性必修第二册）

专题6.4 空间向量的应用 【考点1：空间中直线、平面的平行关系】 1 【考点2：空间中直线、平面的垂直关系】 5 【考点3：空间中的距离】 7 【考点4：空间中的角】 12 【考点1：空间中直线、平面的平行关系】 【知识点：空间向量法求空间中直线、平面的平行关系】 ①设分别是直线与的方向向量，则，使得. ②设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则. ③设分别是直线与的法向量，则，使得. 1．（2021秋•合肥期末）平面α的法向量，平面β的法向量，已知α∥β，则x+y＝（　　） A． B． C．3 D． 2．（2021秋•兴庆区校级期末）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，能使l∥α的是（　　） A．（1，0，0），（﹣2，0，0） B．（1，3，5），（1，0，1） C．（0，2，1），（﹣1，0，﹣1） D．（1，﹣1，3），（0，3，1） 3．（2021秋•邵东市校级月考）直线l的方向向量（﹣1，1，1），平面π的法向量为（2，x2+x，﹣x），若直线l∥平面π，则实数x的值为（　　） A．﹣2 B． C． D．± 4．（2022春•西区校级期中）设平面α的法向量为（1，2，﹣2），平面β的法向量为（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k＝　　． 5．（2021秋•黄陵县校级期末）如图，已知棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面AMN∥平面EFBD． 6．（2021秋•西城区期中）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4． （1）求证：AC⊥BC1； （2）在AB上是否存在点D，使得AC1∥平面CDB1，若存在，确定D点位置并说明理由，若不存在，说明理由． 【考点2：空间中直线、平面的垂直关系】 【知识点：空间向量法求空间中直线、平面的垂直关系】 ①设分别是直线与的方向向量，则. ②设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则，使得. ③设分别是直线与的法向量，则. 1．（2021秋•徐州期末）若平面α，β的法向量分别为（﹣1，2，4），（x，﹣1，﹣2），且α⊥β，则x的值为（　　） A．10 B．﹣10 C． D． 2．（2021秋•三明期末）已知平面α，β的法向量分别为（1，y，4），（x，﹣1，﹣2），若a⊥β，则x﹣y的值为 　　． 3．（2022春•淮安校级期末）已知A，B，C的坐标分别为（0，1，0），（﹣1，0，﹣1），（2，1，1），点P的坐标是（x，0，y），若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是　　． 4．（2022•常熟市校级模拟）如图，PD垂直正方形ABCD所在平面，AB＝2，E是PB的中点，cos，． （1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标； （2）在平面PAD内求一点F，使EF⊥平面PCB． 【考点3：空间中的距离】 【知识点：空间向量法求空间中的距离】 已知平面的法向量为，A是平面内的定点，P是平面外一点，过点P作平面的垂线l,交平面于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此 . 1．（2022•陕西模拟）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，OA⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，且OA＝2，M，N分别为OA，BC的中点． （Ⅰ）求证：直线MN∥平面OCD； （Ⅱ）求点B到平面DMN的距离． 2．（2021秋•赤峰校级期末）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角． （1）求证：CM∥平面PAD； （2）点C到平面PAD的距离． 3．（2022•石家庄模拟）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC＝4，D，E分别是AC，AB边上的中点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C＝A1D，如图2． （Ⅰ）求证：DE⊥A1C； （Ⅱ）求点C到平面A1BE的距离． 4．（2021秋•天津期中）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动． （1）证明：D1E⊥A1D； （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离． 【考点4：空间中的角】 【知识点：空间向量法求空间中的角】 ①当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角. 与的夹角为β l1与l2所成的角为θ 范围 [0，π] 求法 ②设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线l与平面所成的角为，两向量与的夹角为，则有. ③如图①，AB，CD是