专题05 立体几何之二面角问题-【猜想与对策】2023年高考数学解答题预测与演练

专题05 立体几何之二面角问题 命题规律 高考命题中的立体几何解答题，一般设计两问：第一问往往是证明平行或垂直，处理方法可有两类，即几何法和向量法，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向．空间的角与距离的计算（特别是角的计算）是高考热点，一般以大题的条件或第二问呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题．距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查．此类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角或距离. 知识技能方法 1、二面角的平面角定义：从二面角棱上任取一点，在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线、,则称为二面角的平面角。 2、二面角的范围： 3、向量法求二面角平面角 （1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小． （2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足： ；，二面角的大小(或)． （特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.） 预测演练 1．（2023·河南开封·统考三模）如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，EF是圆柱的母线，P是线段AD的中点，已知AB=4，BC=6． (1)证明：平面平面； (2)若直线AB与平面EPF所成角为60°，求二面角F－PE－B的余弦值． 2．（2023·四川资阳·统考模拟预测）如图，在三棱柱中，所有棱长均为2，且，，． (1)证明：平面平面． (2)求平面ACD与平面夹角的余弦值． 3．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）如图，平行六面体中，点P在对角线上，，平面平面． (1)求证：O，P，三点共线； (2)若四边形是边长为2的菱形，，，求二面角大小的余弦值． 4．（2023·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，二面角的大小为，且，． (1)求证：平面； (2)若是棱的中点，求二面角的余弦值． 5．（2023·全国·模拟预测）如图，在直四棱柱中，侧面是边长为2的正方形，底面是直角梯形，，，且． (1)求证：平面平面； (2)已知点是棱的中点，求二面角的余弦值． 6．（2022·海南·校联考模拟预测）如图，在五面体中，四边形是正方形，，，，，点，在平面内的射影落在上． (1)求证：平面 (2)设为的中点，求二面角的余弦值． 7．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）在三棱锥中，，平面ABC． (1)证明：平面平面PAB； (2)若，点E，F分别在线段PB，PC上，且，，求平面AEF与平面ABC夹角的余弦值． 8．（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，三棱柱的侧面是边长为1的正方形，平面平面，，，是的中点． (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在一点，使得二面角的平面角为30°？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 9．（2023·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，． (1)证明：； (2)若直线与平面PAD所成角的正切值等于，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值． 10．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，，，E为BC上一点，F为DE的中点，且三棱锥P-CDE与四棱锥P-ABED的体积比为1:3． (1)证明：DE⊥平面PAF； (2)若PE与平面ABCD所成角为，求二面角A-PB-F的余弦值． 11．（2023·浙江·统考二模）如图，在三棱柱中，底面平面，是正三角形，是棱上一点，且，. (1)求证：； (2)若且二面角的余弦值为，求点到侧面的距离. 12．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）如图，正三棱柱的体积为，，P是面内不同于顶点的一点，且． (1)求证：； (2)经过BC且与AP垂直的平面交AP于点E，当三棱锥E-ABC的体积最大时，求二面角平面角的余弦值． 13．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）在中，，，过点作，交线段于点（如图1），沿将折起，使（如图2），点，分别为棱，的中点. (1)求证：； (2)当三棱锥的体积最大时，试在棱上确定一点，使得，并求二面角的余弦值. 14．（2023·内蒙古乌兰察布·统考二模）如图，四棱锥中，侧面底面ABCD，，，，，E，F分别是SC和AB的中点，． (1)证明：平面SAD； (2)点P在棱SA上，当与底面所成角为时，求二面角的正弦值． 15．（2023·全国·校联考模拟预测）已知四棱锥如图所示，其中，，，，平面平面，点在线段上，，点在线段上. (1)求证：； (2)若平面与平面所成角的余弦值为，求的值. 16．（2023