专题04 立体几何之线面角问题-【猜想与对策】2023年高考数学解答题预测与演练

专题04 立体几何之线面角问题 命题规律 高考命题中的立体几何解答题，一般设计两问：第一问往往是证明平行或垂直，处理方法可有两类，即几何法和向量法，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向．空间的角与距离的计算（特别是角的计算）是高考热点，一般以大题的条件或第二问呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题．距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查．此类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角或距离. 知识技能方法 （一）直线与平面所成的角 1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影. 注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上. 如图，直线是平面的一条斜线，斜足为，斜线上一点在平面上的射影为，则直线是斜线在平面上的射影. 2、直线和平面所成角：（有三种情况） （1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角.由定义可知：斜线与平面所成角的范围为； （2）直线与平面垂直时，它们的所成角为； （3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0. 结论：直线与平面所成角的范围为. 3、向量法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角. （3）设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则，. 预测演练 1．（2023·江苏南通·高三校联考阶段练习）如图，在多面体ABCDE中，已知平面AEC⊥平面ABC，△AEC是边长为2的正三角形，AB⊥BC，∠CAB=∠CAE，四边形ABDE为平行四边形. (1)求多面体ABCDE的体积； (2)求直线AD与平面CDE所成角的正弦值. 2．（2023·广东汕头·统考二模）如图，正方体中，直线平面，，. (1)设，，试在所给图中作出直线，使得，并说明理由； (2)设点A与（1）中所作直线确定平面. ①求平面与平面ABCD的夹角的余弦值； ②请在备用图中作出平面截正方体所得的截面，并写出作法. 3．（2023·全国·模拟预测）如图，直四棱柱的底面为平行四边形，，，点P，M分别为，上靠近的三等分点． (1)求点M到直线的距离； (2)求直线PD与平面所成角的正弦值. 4．（2023·江西上饶·统考二模）如图，等腰梯形ABCD中，，，，E为DC中点，以AE为折痕把折起，使得点D到达点P的位置，且二面角P－AE－C的余弦值为． (1)证明：； (2)求直线PE与平面PBC所成的角． 5．（2023·湖北十堰·统考二模）中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体．该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．在如图所示的“曲池”中，平面，记弧AB、弧DC的长度分别为，，已知，，E为弧的中点． (1)证明：． (2)若，求直线CE与平面所成角的正弦值． 6．（2023·全国·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，分别为棱，的中点，． (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 7．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）如图，在底面为矩形的四棱锥中，PA⊥底面． (1)证明：平面PAD⊥平面PCD． (2)若E在棱AD上，且，求PE与平面PBD所成角的正弦值． 8．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形．，点D为棱AC上动点(不与A，C重合)，平面B1BD与棱A1C1交于点E． (1)求证：； (2)若，平面ABC⊥平面，，求直线BC与平面B1BDE所成角的正弦值． 9．（2023·山东潍坊·统考二模）如图，圆台上底面半径为1，下底面半径为，为圆台下底面的一条直径，圆上点满足，是圆台上底面的一条半径，点在平面的同侧，且. (1)证明：平面； (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成的正弦值. 条件①：三棱锥的体积为；条件②：与圆台底面的夹角的正切值为. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 10．（2023·广东潮州·统考二模）图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，，将其沿，折起使得与重合，连接，如图2. (1)证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面； (2)求图2中的直线与平面所成角的正弦值. 11．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）已知多面体ABCDPQ如图所示，其