专题03 数列之综合问题-【猜想与对策】2023年高考数学解答题预测与演练

专题03 数列之综合问题 命题规律 数列问题是高考的必考内容，主要考查：1．等差等比数列的证明．2．数列求通项．3．数列求和．4．数列不等式问题.5.与概率、导数结合问题．在新高考中开放性题型命题值得关注． 知识技能方法 （一）数列的通项 1、 说明：此公式考点为两个方向：方向一，即在求通项问题中，用替换题目中的；此考点为主要考点；方向二：，即在求通项问题中，用替换题目中的，此法和方向一刚好是反方向的；此考点出现频率较少。 2.累加法（叠加法） 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 具体步骤： 将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得： = 整理得：= 3. 累乘法（叠乘法） 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 具体步骤： 将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得： 整理得： 4.构造法 类型1： 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 类型2：用“同除法”构造等差数列 （1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式。 （2）形如，的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式 5.用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符合专题四类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） （二）求和公式 1. 等差数列的前和的求和公式：. 2．等比数列前项和公式 一般地，设等比数列的前项和是，当时，或；当时，（错位相减法）. 3. 数列前项和 ①重要公式： （1） （2） （3） （4） ②等差数列中，； ③等比数列中，. （三）常见数列求和方法 1.倒序相加法，即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和（满足（为常数）的数列）. 2.分组求和法，如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法. 3．裂项相消法 (1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。 (2)常见的裂项技巧 类型① 特别注意 类型② 类型③（尤其要注意不能丢前边的） 理论上来讲像形如都可以裂项的 像也是这种类型。 类型④ （尤其要注意不能丢前边的） 类型⑤ 4．错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法． 易错提醒： （1）错位相减过程中最后一项是“－”，易错为把原来的“＋”抄下来； （2）错位相减后，其中一部分构成新的等比数列，应避免等比数列项数数错或漏掉其余的项； 5.奇数项、偶数项讨论法. 预测演练 1．（2023·安徽合肥·二模）已知数列的前n项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 2．（2023·内蒙古阿拉善盟·统考一模）已知数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和，求证：． 3．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知数列满足， (1)证明：数列为等差数列； (2)若将数列中满足的项，称为数列中的相同项，将数列的前40项中所有的相同项都剔除，求数列的前40项中余下项的和. 4．（2023·内蒙古包头·统考二模）已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，，，． (1)若，且等比数列的公比大于0，求和的通项公式； (2)若，求． 5．（2023·海南海口·校考模拟预测）设等差数列的前n项和为，已知，且是与的等差中项． (1)求的值； (2)若集合中最小的元素为6，求实数t的取值范围． 6．（2023·全国·长郡中学校联考二模）已知正项数列的前项和为，且，（且）. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：. 7．（2023·辽宁·校联考二模）已知数列是各项为正的等比数列，满足，