专题04 基本不等式及其应用（13种考向）-2024年新高考数学一轮复习讲义之通性通解总结与命题方向全归类（新高考专用）

专题04基本不等式及其应用 【命题方向目录】 命题方向一：基本不等式及其应用 命题方向二：直接法求最值 命题方向三：常规凑配法求最值 命题方向四：消参法求最值 命题方向五：双换元求最值 命题方向六：“1”的代换求最值 命题方向七：齐次化求最值 命题方向八：利用基本不等式证明不等式 命题方向九：利用基本不等式解决实际问题 命题方向十：利用权方和不等式求最值 命题方向十一：与、和有关问题的最值 命题方向十二：待定系数法求最值 命题方向十三：法求最值 【2024年高考预测】 基本不等式作为工具，常结合其他知识点进行考察，如解析几何、函数求最值，实际应用等求范围题型，难度为基础题或中档题． 【知识点总结】 1、基本不等式： （1）基本不等式成立的条件： （2）等号成立的条件：当且仅当时，等号成立． （3）其中叫做正数a，b的算术平堭数，叫做正数a，b的几何平均数． 2、几个重要的不等式 （1）． （2）（同号）． （3）． （4）． 以上不等式等号成立的条件均为． 3、利用基本不等式求敢值 （1）已知x，y都是正数，如果积xy等于定值，那么当时，和有最小值 （2）已知x，y都是正数，如果和等于定值，那么当时，积xy有最大值 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 【方法技巧与总结】 1、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 2、权方和不等式 若， 则成立．当的时，等号成立． 【典例例题】 命题方向一：基本不等式及其应用 【通性通解总结】 熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证． 例1．（2023·全国·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 例2．（2023·全国·高三专题练习）《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在半圆上，且，点在直径上运动．作交半圆于点．设，，则由可以直接证明的不等式为（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·全国·高三专题练习）若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023·全国·高三专题练习）下列不等式的证明过程正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若则 D．若，且，则 变式2．（2023·全国·高三对口高考）下列结论正确的是（     ） A．有最小值2 B．有最小值2 C．时，有最大值-2 D．时，有最小值2 命题方向二：直接法求最值 【通性通解总结】 直接利用基本不等式求解，注意取等条件． 例4．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）若，，，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 例5．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例6．（2023·云南文山·高三马关县第一中学校校考阶段练习）已知正数满足,则的最大值是（    ） A． B． C． D． 变式3．（2023·全国·高三专题练习）若实数，满足，则的最大值是（    ）． A． B． C． D．1 变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，则ab的最小值是（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 变式5．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）若，，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 命题方向三：常规凑配法求最值 【通性通解总结】 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2、注意验证取得条件． 例7．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值是（       ） A． B． C． D． 例8．（2023·全国·高三专题练习）若，且，则的最小值为（       ） A．3 B． C． D． 例9．（2023·上海·高三专题练习）若，则函数的最小值为___________. 命题方向四：消参法求最值 【通性通解总结】 消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 例10．（2023·江苏苏州·高二统考期中）已