第八章 核心素养系列5 平面解析几何中档大题的热点问题-【创新教程】2024高考理科数学复习大一轮课时作业word（老教材，人教版）

核心素养系列5 平面解析几何中档大题的热点问题 学生用书　课时冲关六十五　P403 1．(2020·全国Ⅱ卷)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|. (1)求C1的离心率； (2)设M是C1与C2的公共点．若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程． 解：(1)由已知可设C2的方程y2＝4cx，其中c＝. 不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，－；C，D的纵坐标分别为2c，－2c，故|AB|＝，|CD|＝4c. 由|CD|＝|AB|得4c＝×＝，即3×＝2－22.解得＝－2(舍去)，＝. 所以C1的离心率为. (2)由(1)知a＝2c，b＝c，故C1：＋＝1. 设M(x0，y0)，则＋＝1，y＝4cx0，故 ＋＝1，① 由于C2的准线为x＝－c，所以|MF|＝x0＋c，而|MF|＝5，故x0＝5－c，代入①得＋＝1，即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)，c＝3， 所以C1的标准方程为＋＝1，C2的标准方程为y2＝12x. 2．(2023·抚顺一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点A，且两个焦点F1，F2的坐标依次为(－1,0)和(1,0)． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设E，F是椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，直线OE的斜率为k1，直线OF的斜率为k2，若k1·k2＝－1，证明：直线EF与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程． 解：(1)根据题意，椭圆的两个焦点F1，F2的坐标依次为(－1,0)和(1,0)， 则c＝1，又由椭圆经过点A， 则2a＝＋ ＝4， 即a＝2，又c＝1，所以b2＝3， 得椭圆C的标准方程为＋＝1； (2)证明：分2种情况讨论： ①直线EF的斜率存在，设直线EF的方程为y＝kx＋b，E(x1，y1)，F(x2，y2)， 直线EF的方程与椭圆方程联立，消去y得(3＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－12＝0， 当判别式Δ＝3＋4k2－b2＞0时，得x1＋x2＝ －，x1x2＝； 由已知k1·k2＝－1，即＝－1，因为点E，F在直线y＝kx＋b上， 所以(kx1＋b)(kx2＋b)＝－x1x2， 整理得(k2＋1)x1x2＋bk(x1＋x2)＋b2＝0， 即(k2＋1)＋bk＋b2＝0，化简得b2＝， 原点O到直线EF的距离d＝，d2＝＝＝， 所以直线与一个定圆相切，定圆的标准方程为x2＋y2＝； ②直线EF的斜率不存在，则直线EF与x轴垂直， 又由k1·k2＝－1，则k1＝1或－1， 当k1＝1时，OE的方程为y＝x， OF的方程为y＝－x， ，解可得x＝±， 则EF的方程为：x＝或x＝－， 分析可得EF与圆x2＋y2＝也相切； 综合可得：直线EF与以原点为圆心的定圆相切，该圆的方程为x2＋y2＝. 3．(2023·鹰潭市一模)如图，设椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)，长轴的右端点与抛物线C2：y2＝8x的焦点F重合，且椭圆C1的离心率是. (1)求椭圆C1的标准方程； (2)过F作直线l交抛物线C2于A，B两点，过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C，求△ABC面积的最小值，以及取到最小值时直线l的方程． 解：(1)∵椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)长轴的右端点与抛物线C2：y2＝8x的焦点F重合，∴a＝2. 又∵椭圆C1的离心率是，∴c＝，∴b＝1，∴椭圆C1的标准方程：＋y2＝1. (2)过点F(2,0)的直线l的方程设为：x＝my＋2， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立，得y2－8my－16＝0， ∴y1＋y2＝8m，y1y2＝－16， ∴|AB|＝＝8(1＋m2)． 过F且与直线l垂直的直线设为y＝－m(x－2)， 联立，得(1＋4m2)x2－16m2x＋16m2－4＝0， ∴xC＋2＝，∴xC＝， ∴|CF|＝|xC－xF| ＝·， △ABC面积S＝|AB|·|CF| ＝·. 令 ＝t，则S＝f(t)＝， f′(t)＝， 令f′(t)＝0，则t2＝，即1＋m2＝时，△ABC面积最小． 即当m＝±时，△ABC面积的最小值为9，此时直线l的方程为x＝±y＋2. 4．(2023·潍坊市一模)已知圆C1的圆心在坐标原点O，且与直线l1：x－y＋6＝0相切，设点A为圆上一动点，AM⊥x轴于点M，且动点N满足＝＋，设动点N的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若动直线l2：y＝kx＋m与曲线C有且仅有一个公共点，过F1(－1,0)，F2(1,0)两点分别作F1P⊥l2，F2Q⊥l2，垂足分别为P，Q，且记d1为点F1到直线l2的距离，d2为点F2到直线l2的距离，d3为点P到点Q的距离，试探索(d1