第八章 第10节 第2课时 定点、定值、探索性问题-【创新教程】2024高考理科数学复习大一轮课时作业word（老教材，人教版）

第2课时　定点、定值、探索性问题 学生用书　课时冲关六十四　P402 1．(2023·宣城市一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆C的方程； (2)设AB是椭圆的一条弦，斜率为k(k≠0)，N(t，0)是x轴上的一点，△ABN的重心为M，若直线MN的斜率存在，记为k′，问：t为何值时，k·k′为定值？ 解：(1)由已知可得：，结合a2＝b2＋c2，解得a＝，b＝， ∴椭圆C的方程为：＋＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则重心 M k＝，k′＝＝. 由于AB斜率为k存在且k≠0，故x－x≠0， 则k·k′＝＝ ∵⇒＝－⇒＝－. 则要使k·k′＝为定值， 则当且仅当t＝0，即N(0,0)时，k·k′为定值为－. 2．(2023·洛阳市模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|，当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形． (1)求C的方程； (2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，试问直线AE是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 解：(1)抛物线的焦点F，设D(t,0)，则FD的中点为.∵|FA|＝|FD|， ∴3＋＝，解得t＝3＋p或t＝－3(舍)． ∵＝3， ∴＝3，解得p＝2. ∴抛物线C的方程为y2＝4x. (2)由(1)知F(1,0)，设A(x0，y0)，D(xD,0)， ∵|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1，由xD＞0得xD＝x0＋2，即D(x0＋2,0)． ∴直线l的斜率为kAD＝－.∵l1∥l，故直线l1的斜率为－. 设直线l1的方程为y＝－x＋b， 联立方程组，消元得：y2＋y－＝0，∵直线l1与抛物线相切，∴Δ＝＋＝0，∴b＝－. 设E(xE，yE)，则yE＝－，xE＝， 当y≠4时，kAE＝＝，直线AE的方程为y－y0＝(x－x0)，∵y＝4x0，∴直线AE方程为y＝(x－1)． ∴直线AE经过点(1,0)． 当y＝4时，直线AE方程为x＝1， 经过点(1,0)． 综上，直线AE过定点F(1,0)． 3．(2023·郑州质检)已知圆O：x2＋y2＝4，点F(1，0)，P为平面内一动点，以线段FP为直径的圆内切于圆O，设动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)M，N是曲线C上的动点，且直线MN经过定点，问在y轴上是否存在定点Q，使得∠MQO＝∠NQO，若存在，请求出定点Q，若不存在，请说明理由． 解：(1)设PF的中点为S，切点为T， 连接OS，ST，则|OS|＋|SF|＝|OT|＝2， 取F关于y轴的对称点F′， 连接F′P，所以|PF′|＝2|OS|， 故|F′P|＋|FP|＝2(|OS|＋|SF|)＝4， 所以点P的轨迹是以F′，F分别为左、右焦点，且长轴长为4的椭圆， 则曲线C的方程为＋＝1. (2)假设存在满足题意的定点Q，设Q(0，m)， 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 联立，得消去y，得(3＋4k2)x2＋4kx－11＝0， 则Δ＞0，x1＋x2＝，x1x2＝， 由∠MQO＝∠NQO，得直线MQ与NQ的斜率之和为零， 易知x1或x2等于0时，不满足题意， 故＋＝＋ ＝＝0， 即2kx1x2＋(x1＋x2)＝2k·＋·＝＝0，当k≠0时，m＝6，所以存在定点(0,6)，使得∠MQO＝∠NQO；当k＝0时，定点(0,6)也符合题意． 易知当直线MN的斜率不存在时，定点(0,6)也符合题意． 综上，存在定点(0,6)，使得∠MQO＝∠NQO. 4．(2023·长沙调研)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点P，F为其右焦点． (1)求椭圆C的方程； (2)设过点A(4,0)的直线l与椭圆相交于M，N两点(点M在A，N两点之间)，是否存在直线l使△AMF与△MFN的面积相等？若存在，试求直线l的方程；若不存在，请说明理由． 解：(1)因为＝，所以a＝2c，b＝c， 设椭圆方程＋＝1， 又点P在椭圆上，所以＋＝1， 解得c2＝1，a2＝4，b2＝3， 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)易知直线l的斜率存在， 设l的方程为y＝k(x－4)， 由 消去y得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0， 由题意知Δ＝(32k2)2－4(3＋4k2)(64k2－12)＞0， 解得－＜k＜. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝，① x1x2＝.② 因为△AMF与△MFN的面积相等， 所以|AM|＝|MN|，所以2x1＝x2＋4.③ 由①③消去x2得x1＝.④ 将x2＝2x1－4代入②，得x1