第八章 第10节 第1课时 最值、范围、证明问题-【创新教程】2024高考理科数学复习大一轮课时作业word（老教材，人教版）

第10节　圆锥曲线的综合问题 第1课时　最值、范围、证明问题 学生用书　课时冲关六十三　P400 [基础训练组] 1．(2023·济宁市一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞2)，直线l：y＝kx＋1(k≠0)与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点． (1)若直线l与直线OD(O为坐标原点)的斜率之积为－，求椭圆C的方程； (2)在(1)的条件下，y轴上是否存在定点M使得当k变化时，总有∠AMO＝∠BMO(O为坐标原点)．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)由得(4＋a2k2)x2＋2a2kx－3a2＝0， 显然Δ＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝－， ∴x0＝－，y0＝－＋1＝. ∴k·＝k·＝－.∴a2＝8. 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)假设存在定点M，且设M(0，m)， 由∠AMO＝∠BMO，得kAM＋kBM＝0.∴＋＝0.即y1x2＋y2x1－m(x1＋x2)＝0， ∴2kx1x2＋x1＋x2－m(x1＋x2)＝0. 由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝－， ∴－－＋＝0.∴m＝4. 所以存在定点M(0,4)使得∠AMO＝∠BMO. 2．(2023·沈阳市三检)已知抛物线C1：x2＝2py(p＞0)过点A(2,1)，且它的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，椭圆上的点到焦点F的最小值为2. (1)求抛物线C1和椭圆C2的标准方程； (2)设M，N是抛物线C1上的两个动点，且·＝－4. ①求证：直线MN必过定点，并求定点Q坐标； ②直线MN交椭圆C2于R、S两点，当S△FNS最大时，求直线MN的方程． 解：(1)把A(2,1)代入抛物线C1 可得：4＝2p，p＝2. ∴抛物线C1的方程为x2＝4y.故F(0,1)， 又F(0,1)是椭圆C2：＋＝1的焦点，且椭圆上的点到焦点F的最小值为2， ∴解得 ∴椭圆C2的标准方程为＋＝1. (2)证明：①∵直线MN与抛物线交于M，N两点，∴直线MN斜率必存在． 设直线MN的方程为y＝kx＋b，M(x1，y1)， N(x2，y2)， 联立方程组，消去y可得： x2－4kx－4b＝0， ∴x1x2＝－4b，∴y1y2＝·＝b2， ∴·＝x1x2＋y1y2＝b2－4b＝－4，即b＝2. ∴直线MN的方程为y＝kx＋2.∴直线MN过定点Q(0,2)． ②联立方程组，消去y可得： (9＋8k2)x2＋32kx－40＝0， 设R(x3，y3)，S(x4，y4)，则x3＋x4＝－， x3x4＝－， ∴|RS|＝＝ ， 又F(0,1)到直线MN的距离d＝， ∴S△FSR＝×|RS|×d＝， 令＝t，则t≥，∴S△FSR＝＝， 由对勾函数的性质可知当t＝时，S△FSQ取得最大值，此时k＝0. ∴直线MN的方程为y＝2. 3．(2023·株洲市一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与直线l：bx－ay＝0都经过点M(2，)．直线m与l平行，且与椭圆C交于A，B两点，直线MA，MB与x轴分别交于E，F两点． (1)求椭圆C的方程； (2)证明：△MEF为等腰三角形． 解：(1)由直线l：bx－ay＝0都经过点M(2，)，则a＝2b， 将M(2，)代入椭圆方程：＋＝1，解得：b2＝4，a2＝16， ∴椭圆C的方程为＋＝1； (2)证明：设直线m为：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2) 联立：，整理得x2＋2tx＋2t2－8＝0， ∴x1＋x2＝－2t，x1x2＝2t2－8， 设直线MA，MB的斜率为kMA，kMB，要证△MEF为等腰三角形， 只需kMA＋kMB＝0，由kMA＝， kMB＝， kMA＋kMB＝ ， ＝0， 所以△MEF为等腰三角形． 4．(2020·浙江卷)如图，已知椭圆C1：＋y2＝1，抛物线C2：y2＝2px(p>0)，点A是椭圆C1与抛物线C2的交点，过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于点M(B，M不同于A)． (1)若p＝，求抛物线C2的焦点坐标； (2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值． 解：(1)由题意得焦点坐标为F； (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，C(－x1，－y1)，则OM∥BC. kAM·kOB＝kAB·kBC＝·＝＝－， 则kAM·kOM＝·＝·＝·＝－⇒y＋y3y1＋8p2＝0. 若y3存在，则Δ＝y－32p2≥0. 由于＋2px1＝1⇒x1＝－2p＋，于是y＝－4p2＋2p. 故－4p2＋2p≥32p2⇒≥18p⇒p≤.于是p最大值为，此时y1＝，即在A时取到． 5．(2023·衡阳市一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，直线y＝1与C的两个交点间的距离