第八章 第9节 曲线与方程-【创新教程】2024高考理科数学复习大一轮课时作业word（老教材，人教版）

第9节　曲线与方程 学生用书　课时冲关六十二　P398 [基础训练组] 1．方程(x2－y2－1)＝0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分)(　　) 解析：B　[原方程等价于或x－y－1＝0，前者表示等轴双曲线x2－y2＝1位于直线x－y－1＝0下方的部分，后者为直线x－y－1＝0，这两部分合起来即为所求．故选B.] 2．(2023·普陀区质检)动点P在抛物线y＝2x2＋1上移动，若P与点Q(0，－1)连线的中点为M，则动点M的轨迹方程为(　　) A．y＝2x2　　　　　 B．y＝4x2 C．y＝6x2 D．y＝8x2 解析：B　[设PQ中点为P(x，y)，则P(2x,2y＋1)在抛物线y＝2x2＋1上，即2(2x)2＝(2y＋1)－1，∴y＝4x2.故选B.] 3．有一动圆P恒过定点F(a,0)(a＞0)且与y轴相交于点A，B，若△ABP为正三角形，则点P的轨迹为(　　 ) A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 解析：D　[设P(x，y)，动圆P的半径为R， ∵△ABP为正三角形， ∴P到y轴的距离d＝R，即|x|＝R. 而R＝|PF|＝， ∴|x|＝·. 整理得(x＋3a)2－3y2＝12a2，即－＝1. ∴点P的轨迹为双曲线．故选D.] 4．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是(　　) A.x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0) B.x2－3y2＝1(x＞0，y＞0) C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0) D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0) 解析：A　[设P点的坐标为(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.由＝2，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x＞0，b＝3y＞0.点Q(－x，y)，故由·＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a，b代入ax＋by＝1得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．] 5．在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，A(x，y)，给出△ABC满足条件，就能得到动点A的轨迹方程 下表给出了一些条件及方程： 条件 方程 ①△ABC周长为10 C1：y2＝25 ②△ABC面积为10 C2：x2＋y2＝4(y≠0) ③△ABC中，∠A＝90° C3：＋＝1(y≠0) 则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为(　　) A．C3，C1，C2 B．C1，C2，C3 C．C3，C2，C1 D．C1，C3，C2 解析：A　[①△ABC的周长为10，即AB＋AC＋BC＝10，又BC＝4，∴AB＋AC＝6＞BC，此时动点A的轨迹为椭圆，与C3对应；②△ABC的面积为10，∴BC·|y|＝10，即|y|＝5，与C1对应；③∵∠A＝90°，∴·＝(－2－x，－y)(2－x，－y)＝x2＋y2－4＝0，与C2对应．故选A.] 6．在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B，C(a＞0)，且满足条件sin C－sin B＝sin A，则动点A的轨迹方程是________． 解析：由正弦定理得－＝×，即|AB|－|AC|＝|BC|， 故动点A是以B，C为焦点，为实轴长的双曲线右支． 即动点A的轨迹方程为－＝1(x＞且y≠0)． 答案：－＝1(x＞且y≠0) 7．直线＋＝1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是________． 解析：直线＋＝1与x，y轴的交点为A(a，0)，B(0,2－a)，设AB的中点为M(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1.∵a≠0且a≠2，∴x≠0且x≠1. 答案：x＋y＝1(x≠0且x≠1) 8．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM＝AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是________________． 解析：过P作PQ⊥AD于Q，再过Q作QH⊥A1D1于H，连接PH，PM，易证得PH⊥A1D1.设P(x，y)，由|PH|2－|PM|2＝1，得x2＋1－ ＝1，化简得y2＝x－. 答案：y2＝x－ 9．已知坐标平面上动点M(x，y)与两个定点 P(26,1)，Q(2,1)，且|MP|＝5|MQ|. (1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记(1)中轨迹为C，若过点N(－2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8，求直线l的方程． 解：(1)由|MP|＝5|MQ|， 得＝5， 化简得x2＋y2－2x－2y－23＝0， ∴点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25，轨迹是以(1,1)为圆心，5为半径的圆． (2)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－