第八章 第7节 抛物线-【创新教程】2024高考理科数学复习大一轮课时作业word（老教材，人教版）

第7节　抛物线 学生用书　课时冲关六十　P394 [基础训练组] 1．(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(　　) A.　　　　　　B. C．(1,0) D．(2,0) 解析：B　[将x＝2代入y2＝2px(p>0)得y＝±2.由OD⊥OE得kOD·kOE＝－1，即·＝－1，得p＝1，所以抛物线C：y2＝2x的焦点坐标为F，故选B.] 2．如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的标准方程为(　　 ) A．y2＝x B．y2＝9x C．y2＝x D．y2＝3x 解析：D　[分别过点A，B作AA1⊥l，BB1⊥l，且垂足分别为A1，B1，由已知条件|BC|＝2|BF|，得|BC|＝2|BB1|，所以∠BCB1＝30°. 又|AA1|＝|AF|＝3，所以|AC|＝2|AA1|＝6， 所以|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，所以F为线段AC的中点． 故点F到准线的距离为p＝|AA1|＝，故抛物线的标准方程为y2＝3x.] 3．(2023·海淀区一模)若抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是(　　) A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2 解析：D　[∵设P为抛物线的任意一点，则P到焦点的距离等于到准线：x＝－的距离，显然当p为抛物线的顶点时，p到准线的距离取得最小值.∴＞1，即p＞2.故选D.] 4．(2023·广州市模拟)如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝(　　) A．n＋10 B．n＋20 C．2n＋10 D．2n＋20 解析：A　[由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10.故选A.] 5．(2020·全国Ⅰ卷)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　) A．2　　 B．3　　 C．6　　 D．9 解析：C　[设点A的坐标为(x，y)，由点A到y轴的距离为9可得x＝9，由点A到C的焦点的距离为12，可得x＋＝12，解得p＝6.] 6．(2023·邯郸市模拟)设点P在圆C：x2＋(y－6)2＝5上，点Q在抛物线x2＝4y上，则|PQ|的最小值为________． 解析：设Q(x，y)，其中x2＝4y.又圆心C(0,6)，则|QC|＝＝ ＝(y≥0)．当y＝4时，|QC|min＝2，所以|PQ|min＝|QC|min－r＝2－＝. 答案： 7．(2023·来宾市调研)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则该抛物线的标准方程是________． 解析：把x＝－代入y＝±x，解得y＝±， 所以|AB|＝.因为△AOB的面积为，所以××＝，由e＝＝＝2.解得＝，所以×＝，解得p＝2，所以该抛物线的标准方程是y2＝4x. 答案：y2＝4x 8．(2021·北京卷)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是________；作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________. 解析：抛物线的定义．xM＝6－1＝5； 故M(5，±2)，N(5,0)，SΔFMN＝×(5－1)×2＝4. 答案：5　4 9．(2023·泰安市模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8. (1)求抛物线C的方程； (2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积． 解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为 (8，－8)， ∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线C的方程为y2＝8x. (2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2∶x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M. 由得y2－8y－8m＝0， Δ＝64＋32m>0，∴m>－2. y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝＝m2. 由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－