第八章 第6节 双曲线-【创新教程】2024高考理科数学复习大一轮课时作业word（老教材，人教版）

第6节　双曲线 学生用书　课时冲关五十九　P392 [基础训练组] 1．(2021·天津卷)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若|CD|＝|AB|.则双曲线的离心率为(　　) A.　　　 B.　　 C．2　　 D．3 解析：A　[设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与抛物线y2＝2px(p＞0)的公共焦点为(c,0)， 则抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－c， 令x＝－c，则－＝1，解得y＝±， 所以|AB|＝， 又因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以|CD|＝，所以＝，即c＝b，所以a2＝c2－b2＝c2， 所以双曲线的离心率e＝＝. 故选A.] 2．(2020·全国Ⅲ卷)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：A　[由题意知：双曲线的焦点三角形面积为S△PF1F2＝，所以＝4，则b＝2，又因为e＝＝，所以a＝1.故选：A.] 3．(2023·长春质检)双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－)，点A(，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为(　　) A．8 B．10 C．4＋3 D．3＋3 解析：B　[由已知得双曲线方程为－＝1，设双曲线的另一个焦点为F′，则|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，当F′，P，A三点共线时，|PF′|＋|PA|有最小值，为|AF′|＝3，故△PAF的周长的最小值为10.] 4．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·＜0，则y0的取值范围是(　　 ) A. B. C. D. 解析：A　[·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x＋y－3， 又－y＝1所以·＝3y－1＜0.解得－＜y0＜，故选A.] 5．(2023·河南适应性测试)已知F1、F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为，则双曲线的渐近线方程为(　　 ) A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：D　[不妨设P为双曲线右支上一点， 则|PF1|＞|PF2|，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a， 所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a. 又因为所以∠PF1F2为最小内角， 故∠PF1F2＝. 由余弦定理，可得＝， 即(a－c)2＝0，所以c＝a， 则b＝a，所以双曲线的渐近线方程为 y＝±x，故选D.] 6．双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点M(－3,4)关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F2，则该双曲线的标准方程为______________． 解析：不妨设双曲线－＝1的右焦点F2(c,0)关于渐近线y＝x对称的点在双曲线上， 则过焦点F2且垂直于该渐近线的直线方程为 y－0＝－(x－c)，即y＝－(x－c)． 联立可得方程组解得 由中点坐标公式可得F2关于渐近线对称的点的坐标为， 将其代入双曲线的方程可得－＝1，化简可得c2＝5a2，c2＝a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2.因为M(－3,4)在双曲线－＝1上，所以－＝1，－＝1，所以a2＝5，b2＝20，则该双曲线的标准方程为－＝1. 答案：－＝1 7．(2020·全国Ⅰ卷)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________． 解析：由条件，得A(a,0)，F(c,0)，由于BF是通径长的一半，所以B，∵kAB＝＝＝＝＝e＋1＝3，∴离心率e＝2. 答案：2 8．(2021·全国乙卷)已知双曲线C：－y2＝1(m＞0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为________． 解析：由双曲线方程可知其一条渐近线为x＋y＝0，所以＝，解得m＝3，所以C的焦距为2＝4. 答案：4 9．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程； (2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值． 解析：(1)由已知c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚轴长分别为m，n， 则 解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2. ∴椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1. (2