第七章 核心素养系列4 立体几何高考中档大题的热点问题-【创新教程】2024高考理科数学复习大一轮课时作业word（老教材，人教版）

核心素养系列4 立体几何高考中档大题的热点问题 学生用书　课时冲关五十三　P384 1．(2023·大庆市二模)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，M是AD的中点，将△MAB沿BM向上折起，使平面ABM⊥平面BCDM (1)求证：AB⊥CM； (2)求点D到平面ACM的距离． 解：(1)证明：由题意可知，BM＝＝＝2， CM＝＝＝2，BC＝4， 所以，在△BCM中，BC2＝BM2＋CM2， 所以CM⊥BM； 因为平面ABM⊥平面BCDM且BM是交线，CM⊂平面BCDM， 所以CM⊥平面ABM， 因为AB⊂平面ABM，所以AB⊥CM. (2)取BM中点E，连接AE. 因为AB＝AM且E为BM中点， 所以AE⊥BM. 因为AE⊂平面ABM，平面ABM⊥平面BCDM，BM是交线， 所以AE⊥平面BCDM， 故AE长即为点A到平面BCDM的距离， 算得AE＝. 由(1)可知，CM⊥AM，△ACM是直角三角形，AM＝2，CM＝2，所以S△ACM＝·2·2＝2，S△MCD＝·2·2＝2. 设点D到平面ACM的距离为h， 因为VD－ACM＝VA－MCD， 所以·S△ACM·h＝·S△MCD·AE， 解得h＝1， 故点D到平面ACM的距离为1. 2．(2023·南阳、信阳等六市一模)如图所示的几何体中，ABC－A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°. (1)若AA1＝AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD； (2)若CD＝2，AA1＝λAC，二面角A－C1D－C的余弦值为，求三棱锥C1－A1CD的体积． 解：(1)证明：连接A1C交AC1于E，因为AA1＝AC， 又A A1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AC， 所以A1ACC1为正方形，所以A1C⊥AC1. 在△ACD中，AD＝2CD，∠ADC＝60°，由余弦定理得 AC2＝AD2＋CD2－2 AD·DCcos 60°， 所以AC＝CD，所以AD2＝AC2＋CD2， 所以CD⊥AC，又AA1⊥CD.AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面A1ACC1，所以CD⊥平面A1ACC1， 所以CD⊥AC1，A1C∩CD＝C，A1C，DD⊂平面A1B1CD，所以AC1⊥平面A1 B1CD. (2)如图建立直角坐标系，则D(2,0,0)，A(0，2，0)，C1(0,0,2λ)，A1(0,2，2λ)． ∴＝(－2,0,2λ)，＝(－2,2，2λ)． 对平面 AC1D，因为＝(2，－2，0)，＝(0，－2，2λ)，所以法向量n1＝(，1，)， 又平面C1CD的法向量为n2＝(0,1,0)． 设二面角A－C1D－C的平面角为θ 则cos θ＝＝＝，得λ＝1， 所以 A A1＝AC，此时，CD＝2，AA1＝AC＝2， ×2＝4. 3．(2020·全国Ⅱ卷)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F. (1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F； (2)设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值． 解：(1)因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MN∥CC1，又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN. 因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN，MN∩A1N＝N，MN，A1N⊂平面A1AMN，故B1C1⊥平面A1AMN.又B1C1⊂平面EB1C1F 所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F. (2)由已知得AM⊥BC.以M为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系M－xyz，设AB＝2，则AM＝. 连接NP，则四边形AONP为平行四边形，故PM＝，E.由(1)知平面A1AMN⊥平面ABC.作NQ⊥AM，垂足为Q，则NQ⊥平面ABC. 设Q(a,0,0)，则NQ＝， B1， 故＝，||＝. 又n＝(0，－1,0)是平面A1AMN的法向量，故 sin ＝cos 〈n，〉＝＝. 所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为. 4．(2021·北京卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点E为A1D1中点，直线B1C1交平面CDE于点F. (1)求证：点F为B1C1的中点； (2)若点M为棱A1B1上一点，且二面角M－CF－E的余弦值为，求的值． 解：(1)证明：因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以A1D1∥B1C1，CD∥C1D1. 又因为CD⊄平面A1B1C1D1，C1D1⊂平面A1B1C1D1，所以CD∥平面A1B1C1D1. 因为平面CDEF∩平面A1B1C1D1＝EF