第七章 第7节 第1课时 证明空间位置关系-【创新教程】2024高考理科数学复习大一轮课时作业word（老教材，人教版）

第7节　立体几何中的向量方法 第1课时　证明空间位置关系 学生用书　课时冲关五十一　P380 1．设平面α的一个法向量为n1＝(1,2，－2)，平面β的一个法向量为n2＝(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝(　　 ) A．2　　 B．4　　 C．－2　　 D．－4 解析：B　[由α∥β知n1∥n2，则n2＝λn1. 即(－2，－4，k)＝λ(1,2，－2)． 即解得k＝4.故选B.] 2．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　) A. B. C. D. 解析：D　[因为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，所以＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)． 经验证，当n＝时， n·＝－＋0＝0，n·＝＋0－＝0，故选D.] 3．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM的位置关系为(　　) A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 解析：C　[以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，依题意，可得，D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)． ∴＝(，2,0)－(0,1，)＝(，1，－)，＝(，2,0)－(2，0,0)＝(－，2,0)，∴·＝(，1，－)·(－，2,0)＝0，即⊥，∴AM⊥PM.故选C项．] 4．如图，F是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CD的中点，E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有(　　 ) A．B1E＝EB B．B1E＝2EB C．B1E＝EB D．E与B重合 解析：A　[以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，F(0，1,0)，D1(0,0,2)，设E(2,2，z)，则＝(0,1，－2)，＝(2,2，z)，∵·＝0×2＋1×2－2z＝0， ∴z＝1，∴B1E＝EB.] 5．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：D　[以D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CE＝x，DF＝y，则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，所以＝(x－1,0,1)，又F(0,0,1－y)，B(1,1,1)，所以＝(1,1，y)，由于AB⊥B1E，故若B1E⊥平面ABF，只需·＝(1,1，y)·(x－1,0,1)＝0⇒x＋y＝1.] 6．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝______. 解析：由条件得 解得x＝，y＝－，z＝4， ∴x＋y＝－＝. 答案： 7．已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1，0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是 ________________________________________________________________________. 解析：设平面α的法向量为m＝(x，y，z)， 由m·＝0，得x·0＋y－z＝0⇒y＝z， 由m·＝0，得x－z＝0⇒x＝z，取x＝1， ∴m＝(1,1,1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β. 答案：α∥β 8．如图，在直三棱柱ABC ­A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．AC与BC1的位置关系________． 解析： 如图，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(3,0,0)，B(0,4,0)，C1(0,0,4)，A1(3,0,4)，B1(0,4,4)，D. 因为＝(－3,0,0)，1＝(0，－4,4)， 所以·＝0，所以AC⊥BC1. 答案：垂直 9．如图，在多面体ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1綊BC，二面角A1－AB－C是直二面角．求证： (1)A1B1⊥平面AA1C； (2)AB1∥平面A1C1C. 证明：∵二面角A1－AB－C是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，∴AA1⊥平面BAC. 又∵AB＝AC，BC＝AB， ∴∠CAB＝90°，即CA⊥AB， ∴AB，AC，AA1两两互相垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz， 设AB＝2，则A(0,0,0)，B1(0,2,2)，A1(0,0,2)，C(2