第七章 第2节 空间几何体的表面积与体积-【创新教程】2024高考理科数学复习大一轮课时作业word（老教材，人教版）

第2节　空间几何体的表面积与体积 学生用书　课时冲关四十六　P370 [基础训练组] 1．(2020·北京卷)某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为(　　) A．6＋　　　　　　 B．6＋2 C．12＋ D．12＋2 解析：D　[由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：S＝3×(2×2)＋2×＝12＋2.] 2．(2023·黄山市一模)《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为V＝×(底面圆的周长的平方×高)，则由此可推得圆周率π的取值为(　　) A．3　　 B．3.1　　 C．3.14　　 D．3.2 解析：A　[∵圆堡瑽(圆柱体)的体积为V＝×(底面圆的周长的平方×高)，∴×(2πr)2×h＝πr2×h，解得π＝3.故选A.] 3．(2023·烟台模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　 ) A. B. C. D. 解析：B　[由给定的三视图可知，该几何体表示左侧是一个以边长为2的正方形为底面，高为2的四棱锥，其体积为V1＝×2×2×2＝；右侧为一个直三棱柱，其底面如俯视图所示，高为2，其体积为V2＝×2×2×2＝4，所以该几何体的体积为V＝V1＋V2＝＋4＝，故选B.] 4．(2021·天津卷)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为(　　) A．3π B．4π C．9π D．12π 解析：B　[如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D， 设球的半径为R，则＝，可得R＝2， 因为圆锥AD和圆锥BD的高之比为3∶1，即AD＝3BD， 所以AB＝AD＋BD＝4BD＝4， 所以BD＝1，AD＝3 ， 因为CD⊥AB，则∠CAD＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD＝90°，所以∠CAD＝∠BCD， 又因为∠ADC＝∠BDC， 所以，△ACD∽△CBD， 所以＝，∴CD＝＝， 因此，这两个圆锥的体积之和为π×CD2·(AD＋BD)＝π×3×4＝4π.故选B.] 5．祖暅(公元前5－6世纪)，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家. 他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等. 该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年. 椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体. 如图将底面直径皆为2b，高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上. 以平行于平面β的平面于距平面β任意高d处可横截得到S圆及S环两截面，可以证明S圆＝S环总成立. 据此，短轴长为4cm，长轴为6cm的椭球体的体积是__________cm3. 解析：因为总有S圆＝S环，所以椭半球体的体积等于V柱－V锥＝πb2a－πb2a＝πb2a，椭球体的体积为V＝πb2a，∵2b＝4,2a＝6，∴b＝2，a＝3，所以，该椭球体的体积是×22×3π＝16π. 答案：16π 6．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm3，表面积是__________cm2. 解析：由该几何体的三视图，知该几何体是三棱柱与两个相同的四棱锥的组合体，如图所示；该 ＝×(2×4)×3＋×4＋×(2×4)×3＝8＋24＋8＝40(cm3)； ＝8×4＋2××(4＋8)×＋2××4× ＝32＋16 (cm2)． 答案：40,32＋16 7．已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D­ABC，当三棱锥D­ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为________． 解析：已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，沿AC折叠成三棱锥，如图，则AB＝2，AD＝1，CD＝1，∴AC＝，BC＝，∴BC⊥AC. 取AC的中点E，AB的中点O，连结DE，OE. ∵当三棱锥D­ABC体积最大时，∴此时有平面DCA⊥平面ACB， ∴OB＝OA＝OC＝OD，∴OB＝1，就是外接球的半径为1， 此时三棱锥外接球的体积为×13＝. 答案： 8．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置． (1)证明：AC⊥HD′； (2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱锥D′－ABC