备战2023年数学中考：勾股定理专题（二）

勾股定理专题（二） 东方岳整理（2023.05.4） 26．如图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S2+S3=　 　． 简解：如图，作AM⊥HF于M，则△AME≌△DFE ∴AM=DF ∴S1=S△AFH=FH·AM=EF·DF=S△DEF 同理，S2=S△DEF 又，S3=FG·FI=EF·DF=S△DEF ∴S1+S2+S3=3S△DEF=3××4×3=18 27．如图所示，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD=10，E是AD上一点，现有一动点P沿着折线A﹣E﹣C运动，在AE上的速度是4单位/秒，在CE上的速度是2单位/秒，则点P从A到C的运动过程中至少需　 　秒． 简解：如图，作EH⊥AB于H，CG⊥AB于G，交AD于F，则t=t1+t2===≥CG 当点E与点F重合时，取“=”号 又，CG=AD=10 ∴t=t1+t2≥CG=5 故，点P从A到C至少需要5秒. 28．在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的四边形，则原直角三角形纸片的斜边长是　 　． 简解：如图，连接AC，BD，则 1）当∠ABC为直角时，BD为直角三角形斜边上的中线 ∴斜边长为2BD=10 2）当∠DAB为直角时，AC为直角三角形斜边上的中线 ∴斜边长2AC=8 综上，斜边长为10或8. 29．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为　 　． 简解1：如图1，作CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，则∠CEA=∠AFB=90° ∴∠ACE+∠CAE=90° 又，∠ACB=∠ABC=45°，∴∠CAB=90°,AC=AB ∴∠CAE+∠BAF=90° ∴∠ACE=∠BAF ∴△AEC≌△BFA（AAS） ∴CE=AF，AE=BF 又，∠CDA=45°，∴△CDE为等腰直角三角形 ∴DE=CE=AF= ∴DF=AD+AF=4+ 由勾股定理得，BD2=DF2+BF2，解得，BD= 图1 简解2，如图2，作AE⊥CD于E，BG⊥CD于G，AF⊥BG于F，则△AEC≌△AFB ∴DE=AE=2，CE=BF=3-2 又，四边形AEGF为正方形 ∴BG=GF+BF=3，DG=DE+EG=4 解△BDG得，BD= 图2 简解3：如图3，作等腰Rt△ADE，连接CE，则△ACE≌△ABD ∴BD=CE 在Rt△CDE中，CD=3，DE=4 由勾股定理得，BD=CE= 图3 简解4：如图4，作AE⊥AD交DC的延长线于E，连接BE，则△ADE为等腰直角三角形 ∴△ADC≌△AEB ∴BE=CD=3，DE=AD=4 解△BDE得，BD= 图4 简解5：如图5，以BD边构造等腰Rt△BDF，连接AF，则△CBD∽ABF ∴AF=CD=，∠DAF=360°-∠DAB-∠FAB=360°-∠DAB-∠DCB=90° 解△ADF得，DF= ∴BD=DF= 图5 简解6：如图6，以BD边作等腰Rt△BDF，连接CF，则△FBC∽△DBA ∴CF=AD=4，∠DCF=360°-∠FCB-∠DCB=360°-∠DAB-∠DCB=90° 解△DCF得，DF= ∴BD=DF= 图6 简解7：如图7，以CD边作等腰Rt△CDF，连接BF，则△ACD∽△BCF ∴BF=AD=4，DF=CD=3 解△BDF得，BD= 图7 简解8：以CD边作等腰Rt△CDE，则△ACE∽△BCD ∴DE=CD= 解△ADE得，AE= ∴BD=AE= 图8 简解9：如图，构造△BDE∽△CDA，则△ADE∽△CDB 可令，AC=AB=3a，则BC=3a，则AE=4a 解△ABE得，BE=a 又，，即 ∴BD= 图9 简解10：如图，在DC延长线上取一点F，连接BF，使∠BFC=45°，则△ADC∽△CFB ∴BF=CD=3，CF=AD=4 作BE⊥CF于E，则EF=BE=BF=3，DE=CD+CE=EF+CE=CF=4 解△BDE得BD= 图9 解法11：如图10，取BC的中点E，过点E作EG//CD交AD于G，过点EF⊥EG交DA的延长线于F，连接BF，则△EFG为等腰直角三角形 ∴EG=EF，又AE=BE，∠GEA=90°-∠AEF=∠FEB ∴△GEA≌△FEB（SAS） ∴∠BFE=∠AGE=45°，BF=AG 又，∠D=∠CAE=∠AFE=45° ∴△ACD∽△EAF（一线三等角相似） ∴AF=CD=，EF=AD=2 ∴FG=EF=4 ∴DF=AD+AF=4+，BF=AG=FG-AF=4- 解△BDF得，BD= 图10 简解12，如图11，过点B作BG⊥CD于