专题14 函数模型及其应用-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试（新高考专用）

专题14函数模型及其应用 知识梳理 考纲要求 考点预测 常用结论 方法技巧 题型归类 题型一：用函数图象刻画变化过程 题型二：幂型函数模型 题型三：指数型函数模型 题型四：对数型函数模型 题型五：分段函数模型 题型六：y＝x＋(a>0)型函数模型 题型七：已知函数模型的实际问题 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义. 2.通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用. 【考点预测】 1.指数、对数、幂函数模型性质比较 　　函数 性质　　　 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象 的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值 变化而 各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 2.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 【常用结论】 1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小. 2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键. 3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性. 【方法技巧】 1.判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象. (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况. 2.求解已知函数模型解决实际问题的关注点. (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数； (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. 3.利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验. 4.在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤： ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型. ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. ③解模：求解函数模型，得出数学结论. ④还原：将数学结论还原为实际意义的问题. 5.通过对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识和方法构建函数模型解决问题，提升数学建模核心素养. 二、【题型归类】 【题型一】用函数图象刻画变化过程 【典例1】如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　) 【解析】水匀速流出，所以鱼缸水深h先降低快，中间降低缓慢，最后降低速度又越来越快．故选B. 【典例2】中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律(　　) A．y＝mx2＋n(m>0) B．y＝max＋n(m>0,0<a<1) C．y＝max＋n(m>0，a>1) D．y＝mlogax＋n(m>0，a>0，a≠1) 【解析】由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m>0,0<a<1. 故选B. 【典例3】已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动