专题05 基本不等式-2024年新高考数学一轮考点题型精准复习（讲义+ppt）（新高考专用）

专题05 基本不等式 考点一 直接法求最值 考点二 拼凑法求最值 考点三 二次与二次（或一次）的商式求最值 考点四 “1”的代换 考点五 条件等式求最值 考点六 基本不等式的实际应用 一、基本不等式：（一正二定三相等） （1）基本不等式成立的条件：. （2）等号成立的条件，当且仅当时取等号． 二、几个重要不等式 1. 2. 3. 4. 三。、利用基本不等式求最值问题 （1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小) （2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 考点一 直接法求最值 例1．（2023春·广西南宁·高三统考开学考试）若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式及不等式的解法可得答案. 【详解】因为，， 所以即，当且仅当时，等号成立； 解得或（舍）. 故选：B. 例2．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由均值定理即可求得的最小值. 【详解】， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 例3．（2021秋·河南·高三校考阶段练习）不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式的取等条件即可求解. 【详解】由基本不等式可知，当且仅当， 即时等号成立， 故选：. 例4．（2023春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）若正数，满足，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】利用消元法，再结合二次函数的性质即可得解. 【详解】由，得， 则，解得， 则， 所以当，即时，取得最大值. 故答案为：. 例5．（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳铁路实验中学校考期末）当时，函数（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4 【答案】A 【分析】利用基本不等式可直接得到函数的最值. 【详解】，， ，当且仅当时等号成立， 故选：A 考点二 拼凑法求最值 例6．（2023·陕西榆林·统考三模）若，则的最小值为________． 【答案】7 【分析】利用基本不等式求目标式的最小值，注意取值条件. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，故的最小值为7． 故答案为：7 例7．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的最大值. 【答案】 【分析】由基本不等式，得，由此即可求出函数的最大值. 【详解】因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立，当时，的最大值为 例8．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若，则的最小值为__________． 【答案】3 【分析】利用基本不等式，变形求函数的最小值. 【详解】因为，由基本不等式得：， 当且仅当，且，即时等号成立． 故答案为：3 例9．（2022秋·江西·高三统考阶段练习）已知实数x满足，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D．8 【答案】B 【分析】由已知得到，对题中所给的式子进行转化，利用基本不等式求最大值. 【详解】由得到，则， ， 当且仅当上式取等号，则的最大值为0. 故选：B. 例10．（2022秋·广东佛山·高一佛山市南海区南海执信中学校考阶段练习）若，则取最大值时x的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式求得最大值． 【详解】，则， 所以， 当且仅当即时等号成立. 故选：C． 考点三 二次与二次（或一次）的商式求最值 例11．（2023·全国·高三专题练习）函数在上的最大值为_______________． 【答案】 【分析】令，则，则，利用基本不等式计算可得. 【详解】解：因为，，令，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值为． 故答案为： 例12．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为_________． 【答案】 【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可. 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 例13．（2022秋·上海·高三专题练习），则的最小值是__，此时a＝__． 【答案】 2； 0 【分析】化简，根据基本不等式求解即可. 【详解】显然，， 则，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，的最小值是2，此时. 故答案为：2；0． 例14．（2022秋·云南楚雄·高三云南省楚雄第一中学校考阶段练习）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】A 【分析】由基本不等式求解， 【详解】 因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立 故最小值为， 故选：A 例