《第4章因式分解》创新题型解答题优生辅导训练 2022-2023学年北师大版八年级数学下册

2022-2023学年北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》 创新题型解答题优生辅导训练（附答案） 1．阅读例题，回答问题： 例题：已知二次三项式：x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝(x+3)(x+n)，则x2﹣4x+m＝x2+(n+3)x+3n． ∴ ∴ ∴另一个因式为x﹣7，m＝21． 仿照以上方法解答下面的问题： 已知二次三项式2x2+3x+k有一个因式是2x﹣5，求另一个因式以及k的值． 2．分解因式x2－4y2－2x＋4y，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：x2－4y2－2x＋4y＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)．这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：a2－4a－b2＋4； (2)若△ABC三边a、b、c满足a2－ab－ac＋bc＝0，试判断△ABC的形状． 3．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p、q是正整数，且p≤q）．如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并且规定F（n）＝．例如18＝1×18＝2×9＝3×6，这时就有F（18）＝．请解答下列问题： (1)计算：F（24）； (2)当n为正整数时，求证：F（n3+2n2+n）＝． 4．阅读以下文字并解决问题：对于形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在中间先加上一项，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去，则整个多项式的值不变． 即：，像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法． 利用“配方法”因式分解： 如果，求的值． 5．嘉嘉同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张． 问题发现 (1)他用1张Ⅰ型、1张Ⅱ型和2张Ⅲ型卡片拼出一个新的图形(如图②)．根据图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是________________； (2)如果要拼成一个长为a＋2b，宽为a＋b的大长方形，那么需要Ⅱ型卡片________张，Ⅲ型卡片________张． 拓展探究 (3)若a＋b=5，ab=6，求a2＋b2的值； (4)当他拼成如图③所示的长方形时，根据图形的面积，可把多项式a2＋3ab＋2b2分解因式，其结果是________． 解决问题 （5）请你依照嘉嘉的方法，利用拼图分解因式：a2＋5ab＋6b2=________． 6．阅读理解： 例：已知： ， 求： 和 的值． 解： ， ， ， ，， ，， 解决问题：（1）若 ，求 x、y 的值； （2）已知 ，， 是 的三边长且满足 ， ①直接写出a=__________．b=___________． ②若 是 中最短边的边长（即c<a；c<b），且 为整数，直接写出 的值可能是 ． 7．先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若，求和的值． 解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 问题（1）若△ABC的三边长都是正整数，且满足，请问△ABC是什么形状?说明理由. （2）若，求的值． （3）已知，则 ． 8．设a1=32﹣12，a2=52﹣32，……，an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2，（n为正整数） （1）试说明an是8的倍数； （2）若△ABC的三条边长分别为ak、ak+1、ak+2（k为正整数） ①求k的取值范围． ②是否存在这样的k，使得△ABC的周长为一个完全平方数，若存在，试举出一例，若不存在，说明理由． 9．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2． （1）请直接用含a，b的代数式表示S1＝______，S2＝_____； （2）写出利用图形的面积关系所揭示的公式：_______； （3）利用这个公式说明216﹣1既能被15整除，又能被17整除． 10．观察下列分解因式的过程： x2+2ax﹣3a2 =x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2（先加上a2，再减去a2） =（x+a）2﹣4a2（运用完全平方公式） =（x+a+2a）（x+a﹣2a ）（运用平方差公式） =（x+3a）（x﹣a） 像上面那样通过加减项配出完全平方式后再把二次三项式分解因式的方法，叫做配方法． 请你用配方法分解因式：m2﹣4mn+3n2 11．已知x≠1，计算： (1－