第09讲 函数比较大小问题（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第09讲 函数比较大小问题 1.五种幂函数的图象和性质 (1)幂函数的图象. (2)五种幂函数的性质 函数 y=x y=x2 y=x3 y=x-1 定义域 R R R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 单调 递增 x∈[0,+∞)时,单调递增,x∈(-∞,0) 时,单调递减 单调递增 单调递增 x∈(0,+∞)时,单调递减,x∈(-∞,0)时,单调递减 定点 (1,1),(0,0) (1,1) 2.指数函数的单调性 (1)当时，在上单调递减； (2)当时，在上单调递增； 3.指数函数的单调性 (1)当时，在上单调递减； (2)当时，在上单调递增； 4.常用方法 (1)作差法 (2)临界值法，常见临界值为0，1，不常见有，等 考点一 利用幂函数性质比较大小 考点二 指数式，幂式大小比较 考点三 比较对数，指数，幂的大小问题 考点一：利用幂函数性质比较大小 例1．已知幂函数，对任意的且，满足，若，，，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】∵已知函数是幂函数， ∴，∴，或，，或. 对任意的且，满足， 故是增函数，∴. 若，，，即， ∴，即，即. 则， 故选：B. 对点训练．（2023·河北·高三学业考试）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的单调性确定函数值大小，即可得a，b，c的大小关系. 【详解】由于幂函数在上单调递增，又，，， ，所以，则. 故选：D. 考点二：指数式，幂式大小比较 例2．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将三个指数幂化成同底指数幂，利用指数函数的单调性即可得解. 【详解】因为，，， 又函数在上单调递增，， 所以 所以， 故选：C 对点训练．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数和幂函数的单调性进行比较即可. 【详解】解：，因为函数是增函数，所以，即.又，所以. 故选：C 考点三：比较对数，指数，幂的大小问题 例3．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）已知，，，则，，的大小关系为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，即可比较大小. 【详解】解：由于是减函数且，而，所以， 又因为是减函数，而，， 综上，， 故选：A. 例4．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指对数的性质与中间数比大小即可. 【详解】， 所以. 故选：D. 对点训练．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过和中间数比大小即可. 【详解】； ； ； 所以 故选：D 一、单选题 1．已知正实数，，满足，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数式与对数式互化公式，结合构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即可. 【详解】设，则，，， 令.则在上为减函数，∴，故， 故选：A 2．（2023·高三课时练习）给出下列命题：①若a＞b，则；②若，则；③若a＞b，则；④若，则.其中，正确的命题是（    ）. A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】①④可举出反例，②可通过不等式的基本性质得到；③可利用幂函数的单调性得到. 【详解】若，此时，①错误； 若，则，故，两边平方可得：，②正确； 因为在R上单调递增，故若，则，③正确； 若，不妨设，不满足，④错误. 故选：B 3．图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（    ） A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象，结合幂函数的性质判断参数的大小关系，即可得答案. 【详解】由题图知：，，， 所以，，依次可以是，，3． 故选：D 4．已知是上的增函数，、、、则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数和指数函数的性质比较大小，再由单调性比较a、b、c大小. 【详解】因为函数在上单调递增，所以， 因为在R上单调递减，所以， 所以， 是上的增函数，故 故选：A 5．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）若，，且满足，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指