9.4三角形式下复数的乘除运算（第2课时）（教学课件）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册） 第 9 章 复数 9.4三角形式下复数的乘除运算 （第2课时） 1 学习目标 1.了解复数乘、除运算的三角表示（重点） 3.会利用复数三角形式进行复数乘、除运算（重点、难点） 2.了解复数乘、除运算的几何意义 复数的两种形式 代数形式 三角形式 实部 虚部 辐角 辐角主值 知识回顾 复数的三角形式和代数形式可以根据需要进行互化. 复数的代数形式的乘除运算法则 两角和（差）的正弦、余弦公式 （1） （2） 知识回顾 现在我们讨论三角形式下的复数乘除运算公式． 设有两个用三角形式表示的复数 z1＝r（cos α＋isin α）与 z２＝s（cos β＋isin β），其中r＝｜z１｜≥０，s＝｜z２｜≥０，则 2 三角形式下复数的乘除运算 也就是说，两个复数相乘，其积的模等于模的积，积的辐角 等于辐角的和；两个复数相除（除数不为零），其商的模等于模的 商，商的辐角等于辐角的差． 证明 乘积的公式的推导是两角和的正弦、余弦公式的直接 应用： 乘积公式得证． 现在设z２≠０（从而 s ≠０），用乘积公式计算复数z２ 与 ［cos（α－β）＋isin（α－β）］的乘积，就得到 再把等式两边同除以z２，就得到所求的除法公式． 例３ 计算，并用复数的代数形式表示计算结果： 我们现在来分析复数乘法的几何意义． 在复平面上，把复数z１＝r（cos α＋isin α）（其中r＝｜z１｜≥０） 对应的向量记为 ，则 ＝r，而从 x 轴正向到 方向需 旋转α角（当α＞０时，逆时针旋转；当α＜０时，顺时针旋转）． 把z１乘一个非负实数 s ，就是把向量 伸缩为原来的 s 倍，成为向量 （向量与实数的乘积），使它的模 ，而其辐角不变（图９-４-２（１）） 把z１乘一个模为１的复数cos β＋isin β，就是把z１的辐角 从α变成了α＋β，将向量 变成为向量 ，而其模 r不变 （图9-4-2（2））．也就是说，这个乘法就是让向量 绕坐 标原点旋转 β 角成为向量 ，使得以 x 轴正半轴为始边、以 为终边的角是α＋β．这样，“旋转”这一重要的几何变换可以 用复数乘法得到准确的表达．例如，由于ｉ的辐角主值是 ，因 此把z１乘i就是让向量 绕坐标原点逆时针旋转 ， 一般地，把复数z１ 乘任意一个复数z２＝s（cos β＋isin β）， 在几何上就是对 作上述两个变换的合成：先伸缩，再旋转， 或者先旋转，后伸缩（图9-4-2（3））．从复数乘法的结果我们知 道，这两个不同顺序会得到同样的结果． 例４ 如图9-4-3，设复数－２＋２ｉ在复平面上所对应的 向量是 ，将 绕原点犗 逆时针旋转120°得到向量 ．求向 量 所对应的复数．（结果用复数的代数形式表示） 解 设向量 对应的复数为 z ′，则 ３ 三角形式下复数的乘方与开方 复数的n次幂（n是正整数）是n个相同复数的连乘，因此， 根据复数乘法公式，一个复数的 n 次幂的模是底数模的 n 次幂， 而其辐角是底数辐角的 n 倍． 作为乘方的逆运算，自然会想到，一个复数开 n 次方，方 根的模是被开方数模的 n 次方根，而方根的辐角是被开方数辐 角的 n 分之一．这个规则原则上没错，但要注意的是：由于被 开方数不同辐角的 n 分之一所得出的辐角可能有不同的主值， 在这个过程中被开方数的辐角不能只取主值．事实上，如果α 是被开方数的辐角之一，以下 n 个值都可以作为被开方数 n 次 方根的辐角： 这n个值之间的差都不是２π的整数倍，它们都给出了不同的n 次方根；而其余可能的辐角 都与上述辐角之一相 差２π的整数倍，它们不会再给出更多不同的n次方根了． 现在可把复数的乘方与开方的公式总结如下： 设 ，则对任何正整数n，