9.4复数的三角形式（第1课时）（教学课件）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册） 第 9 章 复数 9.4复数的三角形式（第1课时） 1 1.了解复数三角表示式的推导过程， 2.了解复数的三角表示式， 3.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系 4.会进行复数三角形式和代数式之间的互换， 5.了解两个用三角形是表示的复数相等的条件 学习目标 本章第１节讲了用复数的代数形式所表达的复数运算公式． 这时，复数的加减运算公式比较简洁．但是，复数的乘除，特别 是复数的除法，相应的公式比较复杂，计算比较繁琐．本节将介 绍复数的另外一种表示形式———三角形式，在这种形式下，复数 的乘除有比较简洁的计算公式，相应运算的意义也会更明显地表 现出来 １ 复数的三角形式 如图 9-4-1，复数z＝a＋bi（a、b∈R）对应着复平面上的一 个点Z（a，b）．我们把以原点O为顶点、X轴的正半轴为始边、 射线OZ 为终边的角θ，叫做复数z的辐角（argument），记作Arg z． 这里的角是6.1节意义下的任意角，即它是从原点出发的 一条射线从始边位置旋转到终边位置所形成的角，逆时针旋转时 其度量取正值，顺时针旋转时其度量取负值，不旋转时其度量 为０。 因为一个角的终边绕原点O旋转２π仍回到原来的位置，所 以任意一个非零复数狕的辐角都有无穷多个，其任意两个辐角的 大小的差一定是２π的整数倍．例如，虚数单位i的辐角可以是任 何 规定：复数０的辐角的大小是任意的值． 在复数z的所有辐角中，满足０≤θ＜２π的辐角θ称为z的 辐角主值，记作arg z．复数的辐角虽不是唯一确定的，但非零 复数的辐角主值则是唯一确定的． 复数的任意一个辐角θ与复数的模 一起， 就完全确定了复数z＝a＋bi．事实上，如图９-４-１，我们有 于是 复数的这种表示形式叫做它的三角形式． 例１ 分别写出下列复数的模狉与辐角主值θ，并把这些 复数用三角形式表示： 解 （１） 为第 一象限角，故辐角主值为 ， 从而 的三角 形式为 ，即 为第二象限角，故辐角主值为 ．因 此，用三角形式表示－1＋i，有 （３）－１的模 所对应的点（－１，０） 在 x 轴的负半轴上，故辐角主值为θ＝arg（－１）＝π．因此，用三 角形式表示－１，有 为第三象限角，且 故辐角主值为θ＝arg（－3－4i）＝ 因此，用三角形式表示－３－４ｉ，有 例２ 把下列复数用三角形式表示： 解 （１）因为cos（－θ）＝cosθ，sin（－θ）＝－sinθ，所以 cosθ－isinθ的三角形式是cos（－θ）＋isin（－θ） （２）－２（cos α＋isin α）的模是２．又因为cso（π＋α）＝ －cso α，sin（π＋α）＝－sin α，所以－２（cos α＋isin α）的三角形 式是２［cos（π＋α）＋isin（π＋α）］ 课本练习 练习９．４（１） １．下列复数是否用三角形式来表示的？为什么？ ２．把下列复数用三角形式表示（用辐角主值） 随堂检测 5.下列复数是不是三角形式？如果不是，请把它表示成三角形式. 【解】(1)由“角相同”知，不是三角形式； 与对应的点在第一象限，所以取 即 6.求 的模和辐角的主值. 【解】 所以复数的模是 复数的辐角是 ， 辐角的主值是 在 内的辐角叫做辐角的主值，除了0之外每个复数有且只有一个辐角的主值，一般先用复数 对应的点 确定辐角 的终边所在象限，再由 确定在 内的角 ，即为 .也可以根据三角形式直接求出辐角的主值，注意不是三角形式的要先转化为三角形式 7.把下列复数转化为三角形式 【解】 对应的点在第一象限， 代数形式转三角形式： ∴ 取 又因为 对应的点位于第四象限， 所以取 ①先求复数的模 ②确定辐角的终边所在 的象限 ③根据辐角终边的位置 求出辐角 ④