15 数列大题综合-【黄金冲刺】考前20天高考数学极限满分冲刺（北京卷专用）

15 数列大题综合 1．（2023·北京房山·统考一模）如果数列对任意的，，则称为“速增数列”. (1)判断数列是否为“速增数列”？说明理由； (2)若数列为“速增数列”.且任意项，，求正整数k的最大值； (3)已知项数为（）的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于k，若，，证明：. 2．（2023·北京海淀·校考模拟预测）若无穷数列的各项均为整数．且对于，都存在，使得，则称数列满足性质P． (1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由． ①，，，，…； ②，，，，…． (2)若数列满足性质P，且，求证：集合为无限集； (3)若周期数列满足性质P，请写出数列的通项公式（不需要证明）． 3．（2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测）已知数列，，…，的各项均为正整数．设集合，记的元素个数为． (1)若数列1，1，3，2，求集合，并写出的值； (2)若是递增数列，求证：“”的充要条件是“为等差数列”； (3)若，数列由1，2，3，…，11，22这12个数组成，且这12个数在数列中每个至少出现一次，求的最大值． 4．（2023·北京朝阳·统考一模）已知有穷数列满足．给定正整数m，若存在正整数s，，使得对任意的，都有，则称数列A是连续等项数列． (1)判断数列是否为连续等项数列？是否为连续等项数列？说明理由； (2)若项数为N的任意数列A都是连续等项数列，求N的最小值； (3)若数列不是连续等项数列，而数列，数列与数列都是连续等项数列，且，求的值． 5．（2023春·北京·高三校考阶段练习）设，，…，，，是个互不相同的闭区间，若存在实数使得，则称这个闭区间为聚合区间，为该聚合区间的聚合点． (1)已知，为聚合区间，求t的值； (2)已知，，…，，为聚合区间． （ⅰ）设，是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在k，，使得； （ⅱ）若对任意p，q（且p，），都有，互不包含．求证：存在不同的i，，使得． 6．（2023春·北京海淀·高三北京市八一中学校考阶段练习）已知无穷数列的各项均为正数，当时，；当时，，其中表示这个数中最大的数． (1)若数列的前项为1，4，3，8，写出的值； (2)是否存在，使，且？请说明理由； (3)设，证明：． 7．（2023春·北京海淀·高三清华附中校考阶段练习）记无穷数列的前n项中最大值为，最小值为，令． (1)若，请写出的值； (2)求证：“数列是递增的等差数列”是“数列是递增的等差数列”的充要条件； (3)若，求证：存在，使得，有． 8．（2023·北京·统考模拟预测）设数列（）的各项均为正整数，且.若对任意，存在正整数使得，则称数列具有性质. （1）判断数列与数列是否具有性质；（只需写出结论） （2）若数列具有性质，且，，，求的最小值； （3）若集合，且（任意，）.求证：存在，使得从中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质的数列. 9．（2023·北京·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知有限数列{an}，从数列{an} 中选取第i1项、第i2项、……、第im项（i1＜i2＜…＜im），顺次排列构成数列{ak}，其中bk＝ak，1≤k≤m，则称新数列{bk}为{an} 的长度为m的子列．规定：数列{an} 的任意一项都是{an} 的长度为1的子列．若数列{an} 的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列{an} 为完全数列．设数列{an}满足an＝n，1≤n≤25，n∈N*． （Ⅰ）判断下面数列{an} 的两个子列是否为完全数列，并说明由； 数列（1）：3，5，7，9，11；数列 （2）：2，4，8，16． （Ⅱ）数列{an} 的子列{ak}长度为m，且{bk}为完全数列，证明：m的最大值为6； （Ⅲ）数列{an} 的子列{ak}长度m＝5，且{bk}为完全数列，求的最大值． 10．（2023·北京石景山·统考一模）若无穷数列满足以下两个条件，则称该数列为数列. ①，当时，； ②若存在某一项，则存在，使得（且）. (1)若，写出所有数列的前四项； (2)若，判断数列是否为等差数列，请说明理由； (3)在所有的数列中，求满足的的最小值. 11．（2023·北京东城·统考一模）已知数表中的项互不相同，且满足下列条件： ①； ②. 则称这样的数表具有性质. (1)若数表具有性质，且，写出所有满足条件的数表，并求出的值； (2)对于具有性质的数表，当取最大值时，求证：存在正整数，使得； (3)对于具有性质的数表，当n为偶数时，求的最大值. 12．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）若无穷数列满足，，则称具有性质．若无穷数列满足，，则称具有性质． (1)若数列具有性质，且，请直接写出的所有可能取值； (2)若等差数列具有性质，且，求的取值范围； (3)已知无穷数列同时具有性质和性质，，且不