14 导数大题综合-【黄金冲刺】考前20天高考数学极限满分冲刺（北京卷专用）

14 导数大题综合 1．（2023·北京西城·统考一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，证明：在上单调递增； (3)判断与的大小关系，并加以证明． 2．（2023·北京顺义·统考一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在 上的最大值和最小值； (3)设 ，证明：对任意的，有． 3．（2023·北京海淀·101中学校考模拟预测）已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对于任意的都成立，求实数的取值范围. 4．（2023·北京石景山·统考一模）已知函数. (1)当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求证：，. (2)若在上恰有一个极值点，求的取值范围. 5．（2023·北京·北师大实验中学校考模拟预测）已知函数． (1)若在处的切线与x轴平行，求a的值； (2)是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由； (3)若在区间上恒成立，求a的取值范围． 6．（2023·北京房山·统考一模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在处取得极值，求的单调区间； (3)求证：当时，关于x的不等式在区间上无解. 7．（2023·北京海淀·校考模拟预测）设函数，其中．函数是函数的导函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当时，函数有且仅有一个零点，且； (3)若，讨论函数的零点个数（直接写出结论）． 8．（2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)设，记在区间上的最大值为．求，并判断函数的零点个数． 9．（2023·北京平谷·统考一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若对任意恒有，求a的最大值． 10．（2023·北京海淀·统考一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若存在，使得，求a的取值范围． 11．（2023·北京门头沟·统考一模）已知. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)求证：； (3)若在恒成立，求的取值范围. 12．（2023·北京丰台·统考一模）已知函数． (1)求函数的极值； (2)若函数有两个不相等的零点，． （i）求a的取值范围； （ii）证明：． 13．（2023·北京延庆·统考一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：有且只有一个极值点； (3)求证：方程无解． 14．（2023·北京通州·统考模拟预测）已知函数，（）． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，请判断是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由； (3)当时，若对于任意，不等式恒成立，求k的取值范围． 15．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知函数，函数，其中． (1)讨论函数在上的单调性； (2)当时，证明：曲线与曲线有且只有一个公共点． 16．（2023·北京朝阳·统考一模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对恒成立，求a的取值范围； (3)证明：若在区间上存在唯一零点，则． 17．（2023·北京东城·统考一模）已知函数. (1)当时，求的单调递增区间； (2)设直线l为曲线的切线，当时，记直线l的斜率的最小值为，求的最小值； (3)当时，设，，求证：. 18．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若方程有解，求a的取值范围． 19．（2023·北京·统考模拟预测）已知函数. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若，讨论函数的单调性； （Ⅲ）当时，恒成立，求的取值范围. 20．（2023·北京丰台·统考二模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若是增函数，求a的取值范围； (3)证明：有最小值，且最小值小于． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 14 导数大题综合 1．（2023·北京西城·统考一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，证明：在上单调递增； (3)判断与的大小关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）求导得切点处的斜率，即可求解直线方程， （2）求导，利用导数的正负即可确定函数的单调性， （3）构造函数，利用导数确定单调性，结合（2）的结论即可求解. 【详解】（1）,所以，．             所以曲线在点处的切线方程为． （2）由题设，． 所以．             当时，因为，所以．                     所以在上单调递增． （3）． 证明如下：     设．