第20题 导数大题综合-【黄金冲刺】考前20天高考数学极限满分冲刺（天津卷专用）

第20题 导数大题综合 1．（2023·天津红桥·统考一模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 2．（2023·天津河北·统考一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值. 3．（2023·天津·大港一中校联考一模）已知函数，．，e为自然对数的底数． （1）如果函数在(0，)上单调递增，求m的取值范围； （2）若直线是函数图象的一条切线，求实数k的值； （3）设，，且，求证：． 4．（2023·天津南开·统考一模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有极大值，试确定的取值范围； (3)若存在使得成立，求的值. 5．（2023·天津·统考一模）已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若对于任意，都有，求实数的取值范围. 6．（2023·天津·统考一模）已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的极值； (3)设函数，.当时，，，不等式恒成立，求的取值范围. 7．（2023·天津河东·一模）已知函数，． (1)求函数在点处的切线方程； (2)，，． （ⅰ）证明； （ⅱ）求函数在区间上零点的个数证明． 8．（2023·天津·校联考一模）已知函数．（注：是自然对数的底数）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，函数在区间内有唯一的极值点． ①求实数的取值范围； ②求证：在区间内有唯一的零点，且． 9．（2023·天津·校联考一模）设函数． (1)讨论的单调性； (2)若当时，不等式恒成立，求m的取值范围． 10．（2023·天津河西·统考二模）已知函数，． (1)若，求函数的最小值及取得最小值时的值； (2)求证：； (3)若函数对恒成立，求实数a的取值范围． 11．（2023·天津·一模）已知函数，. （1）若时，直线是曲线的一条切线，求的值； （2）令. ①若，讨论在的最大值； ②若在区间上有零点，求的最小值. 12．（2023·天津河东·统考二模）已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间和极值； （3）若对于任意，都有成立，求实数m的取值范围. 13．（2023·天津·天津市宁河区芦台第一中学校联考模拟预测）已知函数，， （1）求函数的单调区间； （2）若，，使成立，求m的取值范围. （3）当时，若关于x的方程有两个实数根，，且，求实数k的取值范围，并且证明：. 14．（2023·天津·天津市滨海新区塘沽第一中学校联考模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当，，求a的取值范围； (3)证明：． 15．（2023·天津·校考模拟预测）已知． (1)求曲线在处的切线方程； (2)判断函数的零点个数； (3)证明：当时，． 16．（2023·天津和平·统考一模）已知函数，其中为自然对数的底数，. (1)当时，函数有极小值，求； (2)证明：恒成立； (3)证明：. 17．（2023·天津·校联考一模）已知函数，. (1)讨论的单调区间； (2)当时，令. ①证明：当时，； ②若数列满足，，证明：. 18．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）已知函数，其中． (1)求的极值； (2)设函数有三个不同的极值点． （i）求实数a的取值范围； （ii）证明：． 19．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）设函数． (1)求的单调区间； (2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明： （ⅰ）若，则； （ⅱ）若，则． （注：是自然对数的底数） 20．（2023·天津和平·统考二模）已知函数，其中， (1)若， （i）当时，求的单调区间； （ii）曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围． (2)证明：当时，存在直线，使直线是曲线的切线，也是曲线的切线． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20题 导数大题综合 1．（2023·天津红桥·统考一模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对求导，得到函数在处的导数，利用直线方程得点斜式即可得出答案； （2）若恒成立，则，设，对求导，得到的单调性，可求出最大值； （3）令，则，分别取，再由累加法即可证明. 【详解】（1）当时，，的定义域为，， 曲线在点处的切线方程的斜率为，又 则切线方程为. （2）若恒成立，则， 设，， 由，得，由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，