数学（四）-2023年高考考前20天终极冲刺攻略（新高考专用）

学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 目 录 / contents （四） 目录 4 等差数列与等比数列 4 22 数列的综合 22 44 排列组合及二项式定理 44 56 随机变量及其分布 56 76 统计案例 76 等差数列与等比数列 1.等差数列以考查通项公式、前项和公式及性质为主，以通项公式、前项和公式为载体，结合等差数列性质考查分类讨论、转化与化归、函数与方程等数学思想. 2. 等比数列以考查通项公式、前项和公式及性质为主，以通项公式、前项和公式为载体，结合等差数列性质考查分类讨论、转化与化归、函数与方程等数学思想. 3.考查形式：(1)选择题、填空题多单独考查基本量的计算；(2)解答题等差数列与等比数列结合考查，或结合实际问题或其他知识考查. 等差数列 1.定义：数列若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称是等差数列，这个常数称为的公差，通常用表示 2.等差数列的通项公式：，此通项公式存在以下几种变形： （1），其中：已知数列中的某项和公差即可求出通项公式 （2）：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差 （3）：已知首项，末项，公差即可计算出项数. 3.等差中项：如果成等差数列，则称为的等差中项 （1）等差中项的性质：若为的等差中项，则有即 （2）如果为等差数列，则，均为的等差中项 （3）如果为等差数列，则 4.等差数列通项公式与函数的关系： ，所以该通项公式可看作关于的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质. 5.等差数列前项和公式：，此公式可有以下变形： （1）由可得：，作用：在求等差数列前项和时，不一定必须已知，只需已知序数和为的两项即可. （2）由通项公式可得： 作用：① 这个公式也是计算等差数列前项和的主流公式 ② ，即是关于项数的二次函数，且不含常数项，可记为的形式.从而可将的变化规律图像化. （3）当时， 因为 而是的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系 当时 ，即偶数项和与中间两项和的联系 6.等差数列前项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符号分析，另一个角度是从前项和公式入手分析 等比数列 1.定义：数列从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数，则称为等比数列，这个常数称为数列的公比 注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为的等比数列，而常数列只是等差数列 2.等比数列通项公式：，也可以为： 3.等比中项：若成等比数列，则称为的等比中项 （1）若为的等比中项，则有 （2）若为等比数列，则，均为的等比中项 （3）若为等比数列，则有 4.等比数列前项和公式：设数列的前项和为 当时，则为常数列，所以 当时，则 可变形为：，设，可得： 5.由等比数列生成的新等比数列 （1）在等比数列中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列，则有 ① 数列（为常数）为等比数列 ② 数列（为常数）为等比数列，特别的，当时，即为等比数列 ③ 数列为等比数列 ④ 数列为等比数列 6.等比数列的判定：（假设不是常数列） （1）定义法（递推公式）： （2）通项公式：（指数类函数） （3）前项和公式： 数列的求和的方法 （1）等差数列求和公式： （2）等比数列求和公式： 1．（2022·北京·统考高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数. 若为单调递增数列，则， 若，则当时，；若，则， 由可得，取，则当时，， 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”； 若存在正整数，当时，，取且，， 假设，令可得，且， 当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列. 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”. 所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C. 2．（2022·全国（乙卷文理）·统考高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（    ） A．14 B．12 C．6 D．3 【答案】D 【详解】解：设等比数列的公比为， 若，则，与题意矛盾， 所以， 则，解得， 所以. 故选：D. 3．（2022·北京·统考高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论： ①的第2项小于3；   ②为等比数列； ③为递减数列；       ④中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是__________．