数学（三）-2023年高考考前20天终极冲刺攻略（新高考专用）

学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 目 录 / contents （三） 目录 4 立体几何与空间向量 4 45 直线与圆 45 68 椭圆 68 97 双曲线与抛物线 97 130 圆锥曲线的综合 130 立体几何与空间向量 线线角.线面角和二面角是高考的热点，选择题.填空题皆有，解答题中第二问必考，一般为中档题，在全卷的位置相对稳定，主要考查空间想象能力.逻辑思维能力和转化与化归的应用能力.选择题和填空题一般不用空间向量法.但要理解向量基本定理的本质，感悟“基底”的思想，并运用它解决立体几何中的问题. 空间向量在立体几何中的应用 （1）设，，则； ； ； ； ； . （2）设，，则. 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标. （3）两个向量的夹角及两点间的距离公式. ①已知，，则； ； ； ； ②已知，，则， 或者.其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式. （4）向量在向量上的射影为. （5）设是平面的一个法向量，，是内的两条相交直线，则，由此可求出一个法向量（向量及已知）. （6）利用空间向量证明线面平行：设是平面的一个法向量，为直线的方向向量，证明，（如图8-155所示）.已知直线（），平面的法向量，若，则. （7）利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线中各取一个方向向量，，只要证明，即. （8）利用空间向量证明线面垂直：即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线. （9）证明面面平行.面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行.法向量互相垂直. （10）空间角公式. ①异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则. ②线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则. ③二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中. （11）点到平面的距离为，，为平面的法向量，则. 1．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面所成二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、，则， 易知平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. （2）解：，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，. 因此，直线与平面夹角的正弦值为. （3）解：，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，则， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 2．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、． ∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，， ∵，且， ∴平面是二面角的平面角，则， ∴是正三角形，由平面，得平面平面， ∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面． （2）因为平面，过点做平行线，所以以点为原点， ，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，则， 设平面的法向量为 由，得，取， 设直线与平面所成角为， ∴． 3．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点． (1)证明：平面； (2)若，，，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接、， 因为是三棱锥的高，所以平面，平面， 所以、， 又，所以，即，所以， 又，即，所以，， 所以 所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面 （2）解：过点作，如图建立空间直角坐标系， 因为，，所以， 又，所以，则，， 所以，所以，，，， 所以， 则，，， 设平面的法向量为，则，令，则，，所以； 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以； 所以. 设二面角的大小为，则， 所以，即二面角的正弦值为. 4．（2022·全国（甲卷理）·统考高考真题）在四棱锥中，底面． (1)证明：； (2)求PD与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）证明：在四边形中，作于，于， 因为， 所以四边形为等腰梯形， 所以， 故，， 所以， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又，