考点05 基本不等式及其应用6种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)

考点05 基本不等式及其应用6种常见考法归类 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 利用基本不等式比较大小 考点二 利用基本不等式求最值 （一）直接法 （二）配凑法 （三）常数代换法 （四）消元法 （五）换元法 （六）齐次化 （七）重组转化 （八）利用两次基本不等式求最值 （九）基本不等式与对勾函数 考点三 与基本不等式有关的参数问题 考点四 基本不等式的实际应用 考点五 利用基本不等式证明不等式 考点六 基本不等式的综合应用 （一）与函数的结合 （二）与三角函数、解三角形的结合 （三）与平面向量的结合 （四）与数列的结合 （五）与解析几何的结合 （六）与立体几何的结合 1. 基本不等式≤ (1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． (2)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (3)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． ◆注：在利用基本不等式求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各项的值相等时，等号成立．多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性． 2. 几个重要不等式 重要不等式 使用前提 等号成立条件 a2＋b2≥2ab a，b∈R a＝b ＋≥2 ab>0 a＝b ＋≤－2 ab<0 a＝－b ab≤ a，b∈R a＝b ≤ a，b∈R a＝b 3. 常用推论 (1)(a＋b)2≤2(a2＋b2). (2)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac. (3)|2ab|≤a2＋b2⇔－(a2＋b2)≤2ab≤a2＋b2. (4)≤≤≤(a>0，b>0). 即有：正数a，b的调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数. 4. 三元均值不等式 (1)≥. (2)≥abc. 以上两个不等式中a，b，c∈R，当且仅当a＝b＝c时等号成立. 5. 二维形式柯西不等式 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立. 6.基本不等式公式推导图 7.利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大) 8.利用基本不等式求最值的基本方法 (1)直接法 ①利用基本不等式法求最值的最基本类型可以分为两类：和积一定一动型、和与平方和一定一动型. 积，和和平方和三者之间的不等式关系： ②需要注意的是验证等号成立的条件，特别地，由基本不等式≤，求最值时要求"一正、二定、三相等". ③转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值． ④乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值． (2)配凑法 将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值. ①应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”. 所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值， “三相等”是指满足等号成立的条件. ②配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： 1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； 2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； 3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． ③形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。 (3)常数代换法 ①若已知条件中的“１”（ 常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数. 模型1 已知正数满足，求的最小值。 模型2 已知正数满足求的最小值。 ②常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： 1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； 2)把确定的定值(常数)变形为1； 3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； 4)利用基本不等式求解最值． ③有些问题从形式上看，似乎具备和与倒数和的一些特征，但细究起来，又存在明确的区别，