考点08 函数的奇偶性、周期性和对称性5种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)

考点08 函数的奇偶性、周期性和对称性5种常见考法归类 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 函数的奇偶性及其应用 （一）函数奇偶性的判断 （二）抽象函数的奇偶性 （三）函数奇偶性的应用 （1）已知函数的奇偶性求函数值 （2）局部奇偶函数 （3）已知函数的奇偶性求解析式 （4）已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值 （5）应用奇偶性画函数图象 （6）利用函数的奇偶性求最值 考点二 函数的周期性及其应用 考点三 类周期函数 考点四 函数的对称性及其应用 考点五 函数性质的综合应用 （一）函数的单调性与奇偶性结合 （二）函数的奇偶性与周期性结合 （三）函数的单调性与对称性结合 （四）函数单调性、奇偶性和周期性结合 （五）函数单调性、奇偶性和对称性结合 （六）函数奇偶性、周期性和对称性结合 （七）函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性结合 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 注： ①奇函数图像关于原点对称f(－x)＝－f(x) ②偶函数图像关于轴对称f(－x)＝f(x) ③判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． ④常用的两个等价关系 ①f(x＋a)为偶函数⇔f(－x＋a)＝f(x＋a)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称. ②f(x＋a)为奇函数⇔f(－x＋a)＝－f(x＋a)⇔f(x)的图象关于点(a，0)对称. ⑤由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)． ⑥对于含参函数中参数的求值问题，在填空题与选择题中，掌握以下两个结论，会给解题带来方便： (i)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．(ii)若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0. ⑦奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．(重要） 若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数；若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数. ⑧若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. ⑨利用性质法来判断奇偶性(共同定义域上) （以函数的定义域关于原点对称为前提，所有奇偶函数都非零函数）： 奇函数奇函数奇函数；偶函数偶函数偶函数；偶函数奇函数=非奇非偶函数 记忆口诀：加减看自身 奇函数奇函数偶函数；偶函数偶函数偶函数；奇函数偶函数奇函数 ； 记忆口诀：乘除看正负 （注：在记忆的时候可将偶函数看成“+”号，将奇函数看成“-”号） ⑩复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. 2、熟记常见函数的奇偶性 奇函数 偶函数 幂函数= 非零常数可看成偶函数 或 具体如： 或 或 （也可以写成或） 具体如： ； 与都是偶函数 3、判断函数奇偶性的方法 (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．　 4、与函数奇偶性有关的常见问题及解题策略 (1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解； (2)求函数解析式：利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式； (3)求解析式中的参数值： ①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程. ②一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值.在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)，f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)，