第06讲 函数的概念及其表示（精讲）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 第06讲 函数的概念及其表示（精讲） 题型目录一览 ①给出函数解析式求解定义域 ②抽象函数定义域的求法 ③函数值域的求法 ④函数解析式的求法 ⑤分段函数的应用 一、知识点梳理 1.函数的概念 (1)一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为. (2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射. (3)函数表示法：函数书写方式为， (4)函数三要素：定义域、值域、对应法则. (5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同. 2.基本的函数定义域限制 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； （6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域. 3.基本初等函数的值域 (1)的值域是. (2)的值域是：当时，值域为；当时，值域为． (3)的值域是. (4)且的值域是. (5)且的值域是. 4.分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． 提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 二、题型分类精讲 题型一 给出函数解析式求解定义域 策略方法 已知函数的具体解析式求定义域的方法 (1)简单函数的定义域：若f (x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集． (2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 【典例1】求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4). 【题型训练】 一、单选题 1．下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（    ） A． 与 B．与 C． 与 D． 与 2．函数定义域为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．函数的定义域是__________. 4．函数的定义域是_________． 三、解答题 5．求下列函数的定义域： （1）； （2）； （3）； （4）. 6．已知函数的定义域为M， （1）求M； （2）当时，求的最小值． 题型二 抽象函数定义域的求法 策略方法 抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 提醒：明确定义域是自变量“x”的取值范围． 【典例1】求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域； (3)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域. 【题型训练】 一、单选题 1．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．若已知函数的定义域为，则可求得函数的定义域为；问实数m的值为______． 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域___________. 三、解答题 6．已知函数的定义域为. (1)求的定义域； (2)对于（1）中的集合，若，使得成立，求实数的取值范围. 7．已知函数的定义域是，设， (1)求的定义域； (2)求函数的最大值和最小值. 题型三 函数值域的求法 策略方法 函数值域的求法主要有以下几种 （1）观察法:根据最基本函数值域（如≥0,及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域. （2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域. （3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型. （4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等. （5）