2-6 指数与指数函数(精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

2.6 指数与指数函数 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. 3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 2.6 指数与指数函数 1 一、主干知识 2 考点1：根式 3 考点2：分数指数幂 3 考点3：指数幂的运算性质 3 考点4：指数函数及其性质 3 【常用结论归纳】 4 二、分类题型 6 题型一 指数幂的运算 6 题型二 指数函数的图象及应用 8 题型三 指数函数的性质及应用 12 命题点1　比较指数式的大小 12 命题点2　解简单的指数方程或不等式 14 命题点3　指数函数性质的综合应用 16 三、课堂总结：知识图谱 19 四、分层训练：课堂知识巩固 20 一、主干知识 考点1：根式 (1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝a. 当n为奇数时，＝a， 当n为偶数时，＝|a|＝ 考点2：分数指数幂 正数的正分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 考点3：指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)． 考点4：指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时， 0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时， 0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 【常用结论归纳】 1、指数函数单调性的讨论：一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断． 2、同增同减的规律： （1）y＝ax 如果a＞1，则函数单调递增； （2）如果0＜a＜1，则函数单调递减． 3、复合函数的单调性： （1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大； （2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”． 二、分类题型 题型一 指数幂的运算 【例题精析1】 （2023·全国·模拟预测）（    ） A． B． C． D．3 【解答】．故选：A． 【例题精析2】 已知，则的值是（    ） A．15 B．12 C．16 D．25 【解答】因为，所以， 又由立方差公式，，故选：A． 【例题精析3】 化简____________. 【解答】原式＝＋2－3－2＋1＝214.故答案为：214. （1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序． （2）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 【对点精练1】 化简的结果是______． 【解答】由题意得.故答案为：. 【对点精练2】 用分数指数幂表示下列各式： (1)＝____;  (2)＝____；(3)＝____;  (4)＝____；(5)＝____. 【解答】（1）；（2）=；（3）=；（4）；（5） 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）. 【对点精练3】 计算：的值． 【解答】 . 题型二 指数函数的图象及应用 【例题精析4】 （2020·山东·统考高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【解答】当时，，所以在上递减， 是偶函数，所以在上递增.注意到，所以B选项符合.故选：B 【例题精析5】 （2023·广西南宁·统考二模）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D．. 【解