押福建卷第21题 【尺规作图与证明】-备战2023年中考数学临考题号押题（福建卷）

押福建卷第21题 尺规作图与证明 题号 分值 2022年 中考 2021年 中考 2020年 中考 2019年 中考 2018年 中考 21 8 圆与等腰三角形 平移与全等综合 圆与相似三角形 三角形与平行四边形 三角形旋转 解题技巧 （1）尺规作图：考生备考时，要熟练掌握尺规基础四种做法：画线段、画角、画角平分线、画垂直平分线；所有尺规都需要由这四种去实现题目所要求图形性质。 （2）相关证明：需要掌握等腰、等边三角形、直角三角形、平行线、相似三角形、勾股定理、三角函数等相关基础知识。掌握几何题的推理能力，化归与转化思想，从而实现解题。 【真题1】（2022·福建·统考中考真题）如图，BD是矩形ABCD的对角线． (1)求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）先过点A作BD的垂线，进而找出半径，即可作出图形； （2）根据题意，作出图形，设，⊙A的半径为r，先判断出BE＝DE，进而得出四边形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根据勾股定理建立方程求解，再判定，根据，，在Rt△ADE中，利用，得到，求解得到tan∠ADB的值为． 【详解】（1）解：如图所示，⊙A即为所求作： （2）解：根据题意，作出图形如下： 设，⊙A的半径为r， ∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G， ∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°， ∵CF⊥BD， ∴∠EFG＝90°， ∴四边形AEFG是矩形， 又， ∴四边形AEFG是正方形， ∴， 在Rt△AEB和Rt△DAB中，，， ∴， 在Rt△ABE中，， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴，AB＝CD， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 在Rt△ADE中，，即， ∴，即， ∵， ∴，即tan∠ADB的值为． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了尺规作图，切线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，利用三角函数得出线段长建立方程是解决问题的关键． 【真题2】（2021·福建·统考中考真题）如图，已知线段，垂足为a． （1）求作四边形，使得点B，D分别在射线上，且，，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）设P，Q分别为（1）中四边形的边的中点，求证：直线相交于同一点． 【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）根据，点B在射线上，过点A作；根据等边三角形性质，得，分别过点A、B，为半径画圆弧，交点即为点C；再根据等边三角形的性质作CD，即可得到答案； （2）设直线与相交于点S、直线与相交于点，根据平行线和相似三角形的性质，得，从而得，即可完成证明． 【详解】（1）作图如下： 四边形是所求作的四边形； （2）设直线与相交于点S， ∵， ∴， ∴ 设直线与相交于点， 同理． ∵P，Q分别为的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点S与重合，即三条直线相交于同一点． 【点睛】本题考查了尺规作图、等边三角形、直角三角形、平行线、相似三角形等基础知识，解题的关键是熟练掌握推理能力、空间观念、化归与转化思想，从而完成求解． 【真题3】（2020·福建·统考中考真题）如图，为线段外一点． （1）求作四边形，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的四边形中，，相交于点，，的中点分别为，求证：三点在同一条直线上． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析 【分析】（1）按要求进行尺规作图即可； (2)通过证明角度之间的大小关系，得到，即可说明三点在同一条直线上． 【详解】解：（1） 则四边形就是所求作的四边形． （2）∵，∴，， ∴，∴． ∵分别为，的中点， ∴，，∴． 连接，，又∵， ∴，∴， ∵点在上∴，∴， ∴三点在同一条直线上． 【点睛】本题考查尺规作图、平行线的判定与性质、相似三角形的性质与判定等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观，考查化归与转化思想． 1．（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）如图，在矩形中，，，点是的中点． (1)在上求作一点，使（尺规作图，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过作于，即为所求； （2）先根据矩形的性质，得到，则，又由，根据有两角对应相等的两三角形相似，即可证明出，根据相似三角形的对应边成比例，即可求出的长． 【详解】（1）解：过作于，即为所求； （2）解：四边形是矩形， ， ， 又， ， ， 边的中点，， ， 又，， ， ， ． 【点睛】本题