第53讲 空间向量的概念-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第53讲 空间向量的概念 1．空间向量及其有关概念 概念 语言描述 共线向量(平行向量) 共面向量 共线向量定理 共面向量定理 空间向量基本定理及推论 定理： 推论： 2．数量积及坐标运算 (1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝. (2)空间向量的坐标运算： a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 向量差 数量积 共线 a∥b⇒ 垂直 a⊥b⇔ 夹角公式 cos〈a，b〉＝ 1、在下列命题中： ①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行； ②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面； ③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面； ④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc. 其中正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 2、已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　) A. B.2 C. D.1 3、空间四点A(2，3，6)，B(4，3，2)，C(0，0，1)，D(2，0，2)的位置关系为(　　) A. 共线 B. 共面 C. 不共面 D. 无法确定 4、已知向量m是直线l的方向向量，向量n是平面α的法向量，则“m⊥n”是“l∥α”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5、 (2022·镇江高三开学考试)四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的菱形，侧棱长为2，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，则线段A1C的长度是(　　) A. B. C. 3 D. 考向一　空间向量的线性运算 例1 、(1) 已知向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论中正确的是________；(填序号) ①a∥b，a∥c; ②a∥b，a⊥c；③a∥c，a⊥b. (2) 已知a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，x)，且a∥b，则x＝________． （3）在三棱锥O-ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用向量，，表示，. 变式1、（1）如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则向量＝ (用a，b，c表示)． （2）如图，在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝ (用a，b，c表示)． 变式2、(多选)(2022·威海调研)如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，＝，设＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是(　　) A.＝b－c B.＝b＋c－a C.＝b－c－a D.＝a＋b＋c 方法总结：本题考查空间向量基本定理及向量的线性运算. 用不共面的三个向量作为基向量表示某一向量时注意以下三点：(1)结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立． 考向二 共线、共面向量定理的应用 例2、已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点． (1) 求证：E，F，G，H四点共面； (2) 求证：BD∥平面EFGH； (3) 设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝(＋＋＋). 变式1、(多选)(2021·武汉质检)下列说法中正确的是(　　) A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件 B.若，共线，则AB∥CD C.A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面 D.若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ(，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件 变式2、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋). (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内. 变式3、.如图所示，已知斜三棱柱ABC ­A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)．判断向量是否与向量，共面． 方法总结：证明空