2023年中考数学专题复习几何模型 第三讲 手拉手模型

2023年中考数学复习几何模型第三讲手拉手模型 【模型分析】 全等型手拉手： 模型特点： 在△OAB中，OA＝OB，在△OCD中，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，连接AC、BD． 结论：△AOC≌△BOD(SAS) 简记为：双等腰，共顶点，顶角相等，旋转得全等 相似型手拉手： 模型特点： △AOB∽△COD，且绕公共顶点O旋转． 结论：△AOC∽△BOD 简记为：非等腰，共顶点，顶角相等，旋转得相似 类型一 手拉手 一阶模型迁移练 【模型应用】 1．如图①，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，F为BD、CE的交点． (1)求证：BD＝CE； (2)连接AF，如图②，求证：AF平分∠BFE． 2．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝4，E是AB上一点，以CE为底作等腰Rt△CDE，连接AD，若∠ACE＝30°，求AD的长． 3．如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，连接BD、BG、DE．若BD＝BG，BD∥CG，求∠BDE的度数． 4．如图，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠BAC＝∠DAE＝30°，O是BC的中点，连接EO并延长至点F，使得EO＝OF，连接BF，求的值． 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P、E分别是线段AC、BC上的一点，且四边形PEFD为矩形若AP＝，求CF的长． 二阶综合强化练 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是直线BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接CE，DE． (1)如图①，当α＝60°，且点D在线段BC上时，线段BD和CE之间的数量关系是________； (2)如图②，当α＝90°，且点D在线段BC上时，猜想线段BD、CD、DE之间的数量关系，并加以证明； (3)当α＝90°，AB＝6，BD＝2时，请求出DE的长． 2．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝BC，∠ABC＝120°． (1)E，F分别是AB，AC上两点，且EF∥BC． ①如图①，求证：BE＝CF； ②如图②，将△AEF绕点A顺时针旋转，连接BE，CF，求的值； (2)若AB＝6，D是AC边上一点，BD＝2，在BD右侧，以BD为边作等边△BDE，若点B关于直线AC的对称点为B′，连接B′E，请求出B′E的长度． 3．如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是AD边的中点，连接AC，过点E作EF⊥AD交AC于点F． (1)求的值； (2)如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α，求证：在旋转过程中，CF与DE的夹角始终为定值； (3)在(2)的条件下，当△AEC是直角三角形时，求△AEC的面积． 类型二 构造手拉手 【模型分析】 模型特点：如图①， ①有共端点(点A)的两条等线段(AD＝AC)； ②已知两条等线段的夹角(∠α)； ③有过公共端点的第三条线段(AB)； 解题思路：如图②， ①将线段AB绕点A顺时针旋转α，得到线段AE； ②连接BE，CE； ③构造△ABE和△ADC为共顶点的手拉手模型(其中CE、BD为拉手线) 结论：△ABD≌△AEC，△ABE∽△ADC 一阶模型迁移练 【模型应用】 1．如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝4，AC＝，以BC为腰，点C为顶点作等腰△BCD，且∠BCD＝120°，求AD的长． 2．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，点P为BC右上方一点，且∠BPA＝90°，求证：PA－PB＝PC． 3．如图，在等边△ABC外部有一点P，若∠BPA＝30°，求证：PA2＋PB2＝PC2． 二阶综合强化练 1．如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AC边上一点，过点D作DE⊥BC于点E，点F是BD的中点，连接AF、EF、AE． (1)△AEF的形状为________； (2)如图②，将△DEC绕点C顺时针旋转． ①探究(1)中的结论是否仍然成立，若成立，仅就图②的情形进行证明；若不成立，请说明理由； ②若AB＝4，CD＝2，当B、E、F三点共线时，求sin∠ABF的值． 2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，点D是BC边上一动点(且不与点B、C重合)，以AD为底边，向右侧作等腰△AED，其中∠AED＝120°，过点E作EF⊥BC于点F，连接EC． (1)如图①，当点D为BC的中点时，线段CF与DF的数量关系为________； (2)如图②，当点D不是BC的中点时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请就图②的情况给出证明；若不成立，请说明理由； (3)若BD＝6，求EF的长． 3．问题情境： 如图，四边形ABCD是正方形，△DEF是等腰直角三角形，且DE＝EF，连接BF．取BF的中点M，AE的中点