重难点02不等式（5种解题模型5种数学思想）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）

重难点02不等式（5种解题模型5种数学思想） 【目录】 5种解题模型 一、一元二次型不等式恒成立问题 二、一元二次型不等式能成立问题 三、基本不等式中“1”的妙用 四、利用基本不等式求参数范围 五、作差法比较大小 5种数学思想 一、函数与方程思想 二、数形结合思想 三、分类与整合思想 四、转化与划归思想 五、特殊与一般思想 一、 真题多维细目表 考题 考点 考向 2022新高考2，第12题 基本不等式 利用基本不等式求最值 2020新高考1，第11题 不等式的概念和性质 比较大小 二、命题规律与备考策略 本专题在高考题中多作为载体考查其他知识，例如结合不等式的解法考查集合间的关系与运算、函数的定义域与值域、函数零点的应用等；或考查用基本不等式解决最值或恒成立问题。考题以中低档为主。主要以选择题或填空题的形式出现，分值为5分。对于不等式及其性质内容的复习，需要结合函数的图象与性质、三角函数、数列等知识综合掌握。 三、题型解题技巧 1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负. 2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单. 3.均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用均值不等式的切入点. 4.对于均值不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤≤，≤≤(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件. 5.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情况转化为a＞0时的情形. 6.在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意. 7.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单. 四、题型方法 5种解题模型 一、一元二次型不等式恒成立问题 一、单选题 1．（2023·福建·统考模拟预测）已知，恒成立，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知：，恒成立；：，恒成立.则（    ） A．“”是的充分不必要条件 B．“”是的必要不充分条件 C．“”是的充分不必要条件 D．“”是的必要不充分条件 三、填空题 3．（2023·全国·高三专题练习）设对一切实数，不等式恒成立，则的取值范围为________. 4．（2023·广西·统考模拟预测）若不等式对恒成立，则a的取值范围是____________． 5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是________. 四、双空题 6．（2023·云南·高三校联考阶段练习）螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋烧而形成的曲线，如图甲所示．如图乙所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F、G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案，设正方形ABCD的边长为，后续各正方形的边长依次为；如图乙阴影部分，直角三角形AEH的面积为，后续各直角三角形的面积依次为，则___；记数列的前n项和为，若对于恒成立，则的最大值为___． 五、解答题 7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 二、一元二次型不等式能成立问题 一、单选题 1．（2023·全国·模拟预测）已知.若存在，使不等式有解，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河南安阳·统考二模）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 3．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知，q：任意，则p是q成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、双空题 5．（2023·陕西榆林·统考三模）若不等式对恒成立，则a的取值