2023年江苏省南通中考数学 第26题新定义练习

2023年南通中考数学 第26题新定义练习 1．对于二次函数y＝x2﹣4x+3和一次函数y＝﹣x+1，我们把y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．现有点A（1，0）和抛物线E上的点B（2，n），请完成下列任务： （尝试） ⑴判断点A是否在抛物线E上； ⑵求n的值． （发现）通过（1）和（2）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，请你求出定点的坐标． （应用）二次函数y＝﹣3x2+8x﹣5是二次函数y＝x2﹣4x+3和一次函数y＝﹣x+1的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由． 2．在平面直角坐标系中，已知点，经过某点且平行于、或的直线，叫该点关于的“关联线”． 例如，如图1，点关于的“关联线”是：，，． (1)在以下3条线中， 是点关于的“关联线”(填出所有正确的序号)；①；②；③． (2)如图2，抛物线经过点，顶点在第一象限，且点有一条关于的“关联线”是，求此抛物线的表达式； (3)在(2)的条件下，过点作轴于点，点是线段上除点外的任意一点，连接，将沿着折叠，点落在点的位置，当点在点关于的平行于的“关联线”上时，满足(2)中条件的抛物线沿对称轴向下平移多少距离，其顶点落在上？ 3．定义：若一个函数的图像上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图像的“好点”，例如，点是函数的图像的“好点”． (1)在函数①，②，③的图像上，存在“好点”的函数是 （填序号） (2)设函数与的图像的“好点”分别为点A、B，过点A作轴，垂足为C．当为等腰三角形时，求k的值； (3)若将函数的图像在直线下方的部分沿直线翻折，翻折后的部分与图像的其余部分组成了一个新的图像．当该图像上恰有3个“好点”时，求m的值． 4．对于两个已知图形G1、G2，在G1上任取一点P，在G2上任取一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小的长度为图形G1、G2的“密距”；当线段PQ的长度最大值时，我们称这个最大的长度为图形G1、G2的“疏距”． 请你在学习、理解上述定义的基础上，解决下面的问题； 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(－3，4)，点B的坐标为(3，4)，矩形ABCD的对称中心为点O． （1）线段AD和BC的“密距”是 ，“疏距”是 ； （2）设直线与x轴、y轴分别交于点E、F，若线段EF与矩形ABCD的“密距”是1，求它们的“疏距”； （3）平面直角坐标系xOy中有一个四边形KLMN，将矩形ABCD绕点O旋转一周，在旋转过程中，它与四边形KLMN的“疏距”的最大值为7， ①旋转过程中，它与四边形KLMN的“密距”的取值范围是 ； ②求四边形KLMN的面积的最大值． 5．定义：对于一个函数，当它的自变量x与函数值y满足时，有，我们就称此函数是在范围内的“标准函数”．例如：函数y＝－x＋4，当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝1，即当时，有，所以函数y＝－x＋4是在范围内的“标准函数”． (1)正比例函数y＝x是在范围内的“标准函数”吗？请判断并说明理由． (2)若一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，）是在范围内的“标准函数”，求此一次函数的解析式． (3)如图，矩形ABCD的边AB＝2，BC＝1，且点B的坐标为（2，2），若一次函数y＝ax＋h（a，h是常数，）是在范围内的“标准函数”，当一次函数y＝ax＋h与矩形ABCD有交点时，求m＋n的取值范围． 6．给出如下规定：对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为N上任一点，如果P，Q两点间的距离存在最小值时，就称该最小值为两个图形M和N之间的“闭距离”；如果P，Q两点间的距离存在最大值时，就称该最大值为两个图形M和N之间的“开距离”． 请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下面问题： 在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣6，8），B（﹣6，﹣8），C（6，﹣8），D（6，8）． （1）请在平面直角坐标系中画出四边形ABCD，线段AB和线段CD的“闭距离”为 ；“开距离”为 ； （2）设直线y＝﹣x+b（b＞0）与x轴，y轴分别交于点E，F，若线段EF与四边形ABCD的“闭距离”是2，求它们的“开距离”； （3）⊙M的圆心为M（m，﹣6），半径为1，若⊙M与△ABC的“闭距离”等于1，直接写出m的取值范围． 7．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“合成矩形”．如图为点P，Q的“合成矩形”的示意图． (1)若A点坐