专题17 二次函数与圆综合-冲刺2023年中考数学压轴题型和方法全归纳突破(全国通用)

二次函数与圆综合 1．（2022•江阴市校级一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别相交于、两点，与轴相交于点． （1）求出这条抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点在点上方），求的最小值； （3）如图2，点是第四象限内抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，的外接圆与相交于点．试问：线段的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【解答】解：（1）抛物线过点，，， 设抛物线解析式为， 将代入，得：， 解得：， ， 该抛物线解析式为，顶点坐标为． （2）如图1，将点沿轴向下平移1个单位得，连接交抛物线对称轴于点， 过点作，交对称轴于点，连接， 、关于直线对称， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， 在中，， ． ， 此时，、、三点共线，的值最小， 的最小值为． （3）线段的长为定值1． 如图2，连接， 设，且， 轴， ， ， ，， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 线段的长为定值1． 2．（2021•靖西市模拟）如图，已知抛物线的图象的顶点坐标是，并且经过点，直线与抛物线交于，两点，以为直径作圆，圆心为点，与直线交于对称轴右侧的点，直线上每一点的纵坐标都等于1． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：与轴相切； （3）过点作，垂足为，再过点作，垂足为，求的值． 【解答】（1）解：抛物线的图象的顶点坐标是， 可设抛物线解析式为， 该抛物线经过点， ， 解得：， ， 抛物线的解析式为； （2）证明：联立直线和抛物线解析式，得：， 解得：，， ，，，， 为的中点， 点， ， 的半径为， 圆心到轴的距离等于的半径， 与轴相切； （3）解：如图，过点作直线，垂足为，连接， 由（2）得：，， 在中，， ， ， ， ． 3．（2023•任城区一模）在平面直角坐标系中，已知，，且以为直径的圆交轴的正半轴于点，过点作圆的切线交轴于点． （1）求点的坐标和过，，三点的抛物线的析式； （2）求点的坐标： （3）设平行于轴的直线交抛物线于，两点，问：是否存在以线段为直径的圆，恰好与轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）设以为直径的圆的圆心为，连结，如图． ，， ， ， ， 在△中，， 点的坐标为， 由题意，可设所求抛物线的解析式为，把代入， 得， 解得， 所求抛物线的解析式为， 即； （2）为圆的切线， ， ． 又， △， ． 即， ． 点的坐标为． （3）存在． 抛物线的对称轴为， 设满足条件的圆的半径为，则点的坐标为或， 点在抛物线上， ， 整理得， 解得（负值，舍去），， 或， 整理得， 解得（负值，舍去），， 存在以线段为直径的圆，恰好与轴相切，该圆的半径为或． 4．（2023•佛山一模）二次函数． （1）当时，函数图象与轴交于点、，与轴交于点． ①写出函数的一个性质； ②如图1，点是第四象限内函数图象上一动点，求出点坐标，使得的面积最大； ③如图2，点为第一象限内函数图象上一动点，过点作轴，垂足为，的外接圆与交于点，求的长度． （2）点，、，为函数图象上任意两点，且．若对于时，都有，求的取值范围． 【解答】解：（1）当时，抛物线的表达式为：， 当时，，令，则或， 故点、、的坐标分别为、、， ①该函数是抛物线，性质是：抛物线开口向上（答案不唯一）； ②如图1，过点作轴交于点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则的面积 ， 当时，的面积最大，此时，点，； ③设点， 连接， ，， ， ，即， 解得：； （2）， ， ， ， ， 对于，都有， ， 的取值范围为：． 5．（2022•长沙模拟）已知抛物线交轴负、正半轴于、两点，交轴于点，且，的外接圆的圆心为． （1）求该二次函数的解析式； （2）在段的抛物线上是否存在一点，使，若存在请求出点坐标，若不存在，说明理由； （3）圆上是否存在点，使与相似？若存在，直接写出点坐标；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）抛物线交轴于点， ， ， ， ， ， 代入解析式得，解得， 该二次函数的解析式为； （2）存在． 二次函数的解析式为，， ， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 设． 点在段的抛物线上，如图， 过作轴于， 则：， （舍去）或， 点坐标为，； （3）存在；如图， 抛物线， ， ， ， 的垂直平分线是抛物线的对称轴， 是直角三角形，与相似， 是直角三角形， 不是直径， 点是的直径的一个端点， ①当是直角，则是直径， ， ， ， ，， ， 设点， ，或（舍去）， ， ， 直线的解析式为， 设点， ，或（舍去）， ； ②当时，同①的方法即可得出 即：满足条件的，． 6．（2022•韶关二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，