专题16 二次函数中的公共点问题-冲刺2023年中考数学压轴题型和方法全归纳突破(全国通用)

二次函数中的公共点问题 1．（2023•林州市模拟）如图，抛物线与直线相交于点和点． （1）　　，　　． （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点是直线上的一个动点，将点向左平移8个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【解答】解：（1）将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：， 将点的坐标代入直线表达式得：，解得； 故，， 故答案为：，4； （2）由（1）得，直线和抛物线的表达式为：，， 联立上述两个函数表达式并解得或（不符合题意，舍去）， 即点的坐标为， 从图象看，不等式的解集为或； （3）当点在线段上时，线段与抛物线只有一个公共点， ，的距离为8，而、的水平距离是8，故此时只有一个交点，即； 当点在点的左侧时，线段与抛物线没有公共点； 当点在点的右侧时，当时，抛物线和交于抛物线的顶点，即时，线段与抛物线只有一个公共点， 综上所述，或． 2．（2022秋•枣阳市期末）在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，，顶点为的抛物线经过点，，且与轴交于点，（点在点的左侧）． （1）直接写出点的坐标，抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）当时，，求的值； （3）平移抛物线，使抛物线的顶点始终在直线上移动，在平移的过程中，当抛物线与线段有公共点时，求抛物线顶点的横坐标的取值范围． 【解答】解：（1）点，的坐标分别为，，且四边形是矩形， ； 把点、代入抛物线的解析式，则， 解得； ， ， 点为； （2）顶点坐标，抛物线开口向下， 当，即时，随的增大而增大， 当时，， 即时，， ， 解得：，（舍去） 当，随的增大而减小， 当时， 当时，，， 解得：，（舍去）， 综上所述，或， （3）由题意可得，，， 设直线，的解析式为，． ，， 解得：，， ，． 抛物线的顶点在直线上， 可设平移中的抛物线的解析式为． 当时，抛物线即，此时抛物线与线段有两个交点， 当时， ①当抛物线经过点时，有， 解得：（舍去），． ②当抛物线经过点时，有， 解得（舍去），． 综上得； 当且抛物线与直线有公共点时， 则方程即有实数根， ，即． ． 综上可得或时，平移后的抛物线与线段有公共点． 3．（2023•建湖县一模）如图1，抛物线的图象与轴的交点为和，与轴交点为，与直线交点为和，且． （1）求抛物线的解析式和值； （2）在直线上是否存在一点，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）将抛物线图象轴上方的部分沿轴翻折得一个“”形状的新图象（如图，若直线与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时的取值范围． 【解答】解：（1）， ， ，点在的负半轴上， ， 把，分别代入，得， 解得：， 该抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得：； （2）存在． 在中，令，得， 解得：，， ， 如图1，设直线与轴交于点， 则， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 当时，如图1，过点作轴于点， ，， ， ，即是等腰直角三角形， ， ，即是的中点， ，， 点的横坐标为， 当时，， ，； 当时，则， ， ； 综上所述，在直线上存在点使得是等腰直角三角形，点的坐标为，或； （3）， 抛物线的顶点为，，沿轴翻折后的解析式为， 把代入，得， 解得：， 联立抛物线与直线得：， 整理得：， 当△时，， 当直线与该新图象恰好有四个公共点时，． 4．（2023•长春一模）在平面直角坐标系中，抛物线为常数），经过点，点在抛物线上，其横坐标为，将此抛物线上、两点间的部分（包括、两点）记为图象． （1）求抛物线的解析式． （2）若点是抛物线上一点，横坐标为1．过点作轴的平行线交抛物线于另一点，连结，求的面积． （3）当抛物线的顶点是图象的最高点，且图象的最高点与最低点到轴的距离和为定值时，求的取值范围． （4）已知点、、，顺次连接、、、得到矩形，当图象与该矩形的边有两个公共点时，直接写出的取值范围． 【解答】解：（1）把代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）如图： 在中，令得， ， 在中令得或， ， ， ， 的面积是10； （3）， 抛物线的对称轴为直线，顶点为， 抛物线的顶点是图象的最高点， ， 关于直线的对称点为， 图象的最高点与最低点到轴的距离和为定值， 为图象的最低点， ， 范围是； （4）点在抛物线上，其横坐标为， ， ①当的纵坐标与，相等时， ， 解得或， 如图： 由图可知，图象与该矩形的边有两个公共点，的范围是； ②当与，横坐标相等时， ， 解得， 若与重合，则， 解得， 如图： 由图可得，图象与该矩形的边有两个公共点，的范围是，综上所述，图象与该矩形的边有两个公共点，的范围是或． 5．（2023•许昌一模）已知抛物线 经过点． （1）用含的式子表示； （2）若抛物线开口向上，点是抛物线上一动点