专题15 二次函数中的最值问题-冲刺2023年中考数学压轴题型和方法全归纳突破(全国通用)

二次函数中的最值问题 1．（2023•巴中模拟）如图1，已知抛物线经过点和点，且与轴交于点；直线经过点和点． （1）求直线和抛物线的解析式． （2）若点为直线上方的抛物线上一点，过点作于点，作轴，交直线于点，当的周长最大时，求点的坐标． （3）在第（2）问的条件下，直线上有一动点，连接，求的最小值． 【解答】解：（1）抛物线与轴交于点， ， 直线经过点和点， ， 直线的解析式为， 令，则，解得， ， 抛物线经过点和点， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）如图1， 设点，则， ， ，轴， ，， ， ， ， ，， 的周长为： ， 当时，的周长有最大值，此时，点的坐标为； （3）如图2，作点关于的对称点，作于，交于， ， 点的坐标为，，， 轴，， ， ， ， ， ， ， 的最小值为，即的值， 轴，， 轴， ， ， ， ， ， 的最小值为． 2．（2023•海宁市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，为边上的一动点，为边上的一动点，点坐标为，求周长的最小值． 【解答】解：（1）抛物线经过点，点． ， ， 抛物线的解析式为； （2）如图，设为关于直线的对称点，为关于直线的对称点，连接，，． 由对称性可知，，的周长， 当，．．共线时，的周长最小，最小值为的长， 令，则， 解得或3， ， ， 是等腰直角三角形， 垂直平分，且， ， ，关于轴对称， ， ， 的周长的最小值为． 3．（2023•庐阳区校级一模）已知抛物线． （1）当时，求此抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）若该抛物线与直线的一个交点在轴正半轴上． ①求此抛物线的解析式； ②当时，求的最小值（用含的式子表示）． 【解答】解：（1）当时，， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）①将代入得， 点坐标为， 将代入得， 解得或， 当时，，点在轴负半轴，不符合题意， 当时，，点在轴正半轴，符合题意． 抛物线的解析式为． ②， 抛物线开口向上，顶点坐标为， 将代入得， 将代入得， 当时，，为函数最小值； 当时，为函数最小值； 当时，为函数最小值． 4．（2023•连云港一模）如图，已知抛物线经过点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点为该抛物线上一动点． ①当点在直线下方时，过点作轴，交直线于点，作轴．交直线于点，求的最大值； ②若，求点的横坐标． 【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：， 则①； （2）由抛物线的表达式知，点， 由、的表达式知，直线的表达式为：， 设点，点， 则， 即的最大值为， 由直线的表达式知，其和轴负半轴的夹角为，即， 则， 则， 则的最大值为； （3）作点关于轴的对称点，则， ， ， 则，， 过点作于点， 则， 即，则， 则，则， 故直线的表达式为：②， 联立①②得：， 解得：， 即点的横坐标为． 5．（2023•东港区校级一模）如图1．抛物线，交轴于、两点，交轴于点．当时． （1）求抛物线的表达式； （2）若点是抛物线上第一象限的点． ①如图1连接，交线段于点，若时，求点的坐标； ②如图2，在①条件下，当点靠近抛物线对称轴时，过点作轴，点是上一点，连接，求的最小值； （3）如图3，点是抛物线上第一象限的点，为抛物线顶点，直线垂直于轴于点，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点试问，是否为定值？如果是，请直接写出这个定值：如果不是，请说明理由． 【解答】解：（1）当时，，则抛物线和轴的交点坐标为：、， 则抛物线的表达式为：， 即，则， 则抛物线的表达式为：； （2）①如图1，分别过点、作轴的平行线分别交、于点、， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 当时，，即， 轴， ， ， 则， 设点的坐标为：，点， 则， 解得：或2， 即点的坐标为：或； ②如图2， 点靠近抛物线对称轴，则点， 在中，，， 则，则， 过点作于点，则， 故当、、共线时，最小， 则； （3）设点， 由、的坐标得，直线的表达式为：， 当时，； 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 当时，， 则为定值． 6．（2023•灞桥区校级模拟）已知抛物线经过点、、． （1）求抛物线的表达式； （2）将抛物线绕原点旋转180度后，得到抛物线，点是抛物线第一象限的点，其横坐标为4，点是抛物线的顶点，点是抛物线与轴的交点，过点作直线轴，动点在直线上，点在轴上，连接，，，请问当为何值时，的和有最小值，并求出这个最小值． 【解答】解：（1）抛物线经过点、、， ， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）， 抛物线的顶点坐标为， 将抛物线绕原点旋转180度后，得到抛物线， 抛物线的顶点， 当时，， ， 当时，， ， 如图，过点作轴于点，则，， ， 则， ，， ， ， 当且仅当最小时，的和最小， 直线时，