专题14 二次函数中的路径问题-冲刺2023年中考数学压轴题型和方法全归纳突破(全国通用)

二次函数中的路径问题 1．（2021•宜城市一模）如图，直线，抛物线的顶点为，抛物线与直线交于点． （1）写出抛物线的顶点的坐标 　　（用表示），点的坐标所满足的函数关系式为 　　； （2）求点的纵坐标（用含的代数式表示），并求的最大值； （3）随的变化，会在直角坐标系中移动，求顶点在轴与之间移动（含轴与的路径的长．（提示：平面直角坐标系中两点，，，之间的距离 为 【解答】解：（1） ， 抛物线的顶点的坐标为， 点的坐标所满足的函数关系式为：， 故答案为：，； （2）抛物线与直线交于点， 把代入得： ， ， 当时，的最大值为； （3）点在轴与之间沿运动， 如图，设直线与轴和直线分别交于点和点， 线段的长即为点路径长， 把代入得： ， 点， 把代入得： ， 点， ， 点在轴与之间移动的路径长为． 2．（2021•新市区校级一模）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于、，在轴上有一点，连接． （1）求二次函数的表达式； （2）点是第二象限内的抛物线上一动点．若，求此时点坐标； （3）连接，点是线段上的动点，连接，把线段绕着点顺时针旋转至，点是点的对应点．当动点从点运动到点时，判断动点的轨迹并求动点所经过的路径长． 【解答】解：（1）将，代入， 可得，， ； （2）过点作，与轴交于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 直线解析式为， 时，， ，； （3）点随点运动而运动，点在线段上运动， 点的运动轨迹是线段， 当点在点时，， 当点在点时，， 点的轨迹长为， 故答案为． 3．（2022•禅城区校级模拟）如图，已知抛物线经过原点，与轴交于点，，直线交轴于点，交抛物线于点（点在第三象限）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是点关于抛物线对称轴的对称点，连接，求的长； （3）若点为线段．上的一个动点，连接，以为边向右作等边三角形．当点从点开始向右运动到点时，点移动路径长为 　　． 【解答】解：（1）抛物线经过原点， ， 将点，代入， ， ， ； （2）， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与直线交于点， ， 解得或， 点在第三象限， ，， 点是点关于抛物线对称轴的对称点， ，， ； （3）如图， ，，，， ，，， ，， 是直角三角形，， 是等边三角形， 当点和点重合时，点与点关于对称，坐标为，， 当点和点重合时，点与点关于对称，坐标为，， ， ， ， ， 点与点关于轴对称，坐标为，， ， 点移动路径长为． 故答案为：． 4．（2020秋•安新县期末）如图，抛物线的顶点为，，抛物线与直线交于点． （1）　　，　　（分别用含的式子表示）；与的函数关系式为 　　； （2）求点的纵坐标（用含的式子表示），并求的最大值； （3）随的变化，抛物线会在直角坐标系中移动，求顶点在轴与之间移动（含轴与的路径的长． 【解答】解：（1）由题意得：， 把代入中可得： ， 顶点， ，，与的函数关系式为：； 故答案为：，，； （2）抛物线与直线交于点， 把代入中得： ， ， 当时，的最大值为； （3）点在轴与之间沿直线运动， 设直线与轴和直线分别交于点和点，线段的长即为点路径的长，如图： 把，分别代入得： 点，点， ， 点路径的长为． 5．（2020秋•西城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标是，点为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点的坐标为，连接． （1）求该二次函数的表达式． （2）依题补图：连接，过点作轴于点；当和相似时，求的值． （3）过点作直线，和轴交点为，在点从点到点运动过程中，直接写出点运动的路径长． 【解答】解：（1）把，代入得， ，解得， 该二次函数的表达为； （2）如图： 设， 由，分两种情况： 当时，， ， ， 即，解得，或（舍去）； 当时，， ， 即，解或（舍去）， 综上所述，的值为或； （3）如图， 设直线解析式为， ，解得， 直线解析式为， ， 设直线的解析式为， 当时，， 令，则， ， 当点在点时，， 当直线与的图象只有一个交点时， 联立， 整理得， △， 解得， 当时，直线的解析式为， 此时直线与的图象只有一个交点， 令，则，解得， 此时，，， 点从点到点的运动过程中，点从先向左运动到，，再向右运动到， 点运动的路径长为． 6．（2022•岳麓区校级三模）抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是介于、之间的抛物线上的动点（包括、两点），点是的外接圆圆心． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当为抛物线的顶点时，求圆心的坐标； （3）如图2，作轴于点，延长交于点，当从点出发，沿该抛物线运动到点，求点在这个运动过程中的路径长． 【解答】解：（1）抛物线交轴于，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）， 抛物线的对称轴为直线，顶点为， 当为抛物线的顶点时，，