专题13 二次函数中的翻折、对称、折叠问题-冲刺2023年中考数学压轴题型和方法全归纳突破(全国通用)

二次函数中的翻折、对称、折叠问题 1．（2022•湘潭县模拟）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，已知，两点坐标分别是，，连接，． （1）求抛物线的解析式和所在直线的解析式； （2）将沿所在直线折叠，得到，点的对应点是否落在抛物线的对称轴上，若点在对称轴上，请求出点的坐标；若点不在对称轴上，请说明理由． 【解答】解：（1）抛物线过， ， ， 解得． 抛物线的解析式为． 设所在直线的解析式为， ， 解得． 所在直线的解析式为． （2）点不在抛物线的对称轴上，理由： 抛物线的解析式为， 点的坐标是． ，， ， 又， ． ， ， ． 将沿折叠，点的对应点一定在直线上．延长到点，使得，过点作轴，垂足为点，如图： 又， ， ， 点的横坐标为． 抛物线的对称轴是直线， 点不在抛物线的对称轴上． 2．（2023•东莞市校级模拟）把矩形放置在如图所示的平面直角坐标系中，点在边上，把点沿折叠，使点恰好与原点重合，已知，． （1）点的坐标为 　　． （2）已知抛物线经过点，，且与直线仅有一个交点，求该抛物线的解析式． （3）在（2）的条件下，若该抛物线上存在点使得，请直接写出点的横坐标；若无，则请说明原因． 【解答】解：（1）四边形是矩形， ， 把点沿折叠，使点恰好与原点重合， ， ， ， ； （2）抛物线经过点、， 设抛物线的解析式为， 由， 整理得：， 抛物线与直线仅有一个交点， △， 解得：， 该抛物线的解析式为； （3）如图，，且点在抛物线上， 当点与点重合时，， ，即点的横坐标为； 当点与点不重合时，设， 过点作轴于点，交的延长线于点， 则，，，，， ， ， ， ， ， ， ， 即， 当或时，原方程可化为：， ， 解得：或， 当时，， 综上所述，点的横坐标为或或． 3．（2023•呼和浩特一模）已知，二次函数与轴的一个交点为，且过和点． （1）求、、的值，并写出该抛物线的顶点坐标； （2）将二次函数向右平移个单位，得到的新抛物线，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，若是整数，请求出所有符合条件的新抛物线的解析式； （3）已知、、是抛物线上互不重合的三点，已知、的横坐标分别是，，点与点关于该抛物线的对称轴对称，求． 【解答】解：（1）二次函数与轴的一个交点为，且过和， ， 解得， 二次函数的表达式为， 二次函数化为顶点式为， 二次函数顶点为； （2）如图： 将二次函数，的图象向右平移个单位得的图象， 新图象的对称轴为直线， 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，且抛物线开口向下， ， 解得， 是整数， ，或或， 或或， 符合条件的新函数的解析式为或或； （3）当在左侧时，过作于，如图， 点、的横坐标分别是、， ，， ，， 点与点关于该抛物线的对称轴对称，而抛物线对称轴为直线， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ，即， 当在右侧时，如图， 同理可得是等腰直角三角形，， ， 综上所述，的度数是或． 4．（2023•松江区二模）在平面直角坐标系中（如图），已知直线与轴交于点，抛物线 的顶点为． （1）若抛物线经过点，求抛物线解析式； （2）将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，如果点在抛物线上，求点的坐标； （3）设抛物线的对称轴与直线交于点，点位于轴上方，如果，求的值． 【解答】解：（1）对于，当时，，即点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：（不合题意的值已舍去）， 故抛物线的表达式为：； （2）如图，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交轴于点， 将线段绕点顺时针旋转，点落在点处， 则，， ，， ， ，， ， ，， 则点的坐标为：， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则点的坐标为：； （3）设点， 则直线的表达式为：， 过点作交于点，过点作轴的平行线交抛物线对称轴于点，交轴于点， 设点， ，即为等腰直角三角形， 则，， 由（2）知，， 则且， 整理得：， 解得：（负值已舍去）． 5．（2023•雁塔区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）． （1）求点，的坐标； （2）点为抛物线的对称轴上一点，抛物线关于轴对称的抛物线为，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）令， 解得：或， 故点、的坐标分别为：、； （2）存在，理由： 抛物线关于轴对称的抛物线为， 则的表达式为：， 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 故设点，点，， 当是菱形的对角线时，由中点坐标公式得：， 解得：， 即点； 当是菱形的对角线时，由中点坐标公式得：， 解得：， 则点； 当是菱形的对角线时，由中点坐标公式得：， 解得：， 则点； 综上，点的坐标为：或或． 6．（2023•大庆一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，与轴交于