专题12 二次函数中的角度问题-冲刺2023年中考数学压轴题型和方法全归纳突破(全国通用)

二次函数中的角度问题 1．（2022秋•大冶市期末）抛物线与坐标轴分别交于，，三点，是第一象限内抛物线上的一点． （1）直接写出，，三点的坐标为　　，　　，　　； （2）连接，，，若，求点的坐标； （3）连接，，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）令，则， 令，则， 或， ，，． 故答案为：，，； （2）如图，连接， 设， 则 ， 解得：，（舍，方 点的坐标为； （3）存在点使得，理由如下： 如图2，在的延长线上截取，连接，过点作轴，交于点，连接， 在中， ，， ， ， ， 轴， ， ， ，． 直线的解析式为：， 令，则， ， ， 直线的解析式为：， 联立：， 解得：（舍， 点的坐标为． 2．（2022秋•临淄区期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、． （1）求抛物线的表达式； （2）为抛物线上第一象限内一点，求面积的最大值； （3）点是抛物线上的一动点，当时，求点的坐标． 【解答】解：（1）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点， ， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）如图，过点作轴交于点，交轴于点， ，， 直线解析式为， 设， 则， 为抛物线上第一象限内一点， ， 面积， 当时，面积最大，最大值为16； （3）①当点在上方时，如图， ， ， 点，的纵坐标相等， 点的纵坐标为4， 令，则， 解得：或， ； ②当点在下方时，如图， 设交轴于点， ， ． 设， ， 在中， ， ， 解得：， ， ． 设直线的解析式为， ， 解得：， ， ， 解得：，， ，． 综上所述，点的坐标为或，． 3．（2023•香洲区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，其中点的坐标为，与轴交于点． （1）求抛物线和直线的函数表达式； （2）点是直线上方的抛物线上一个动点，当面积最大时，求点的坐标； （3）连接和（2）中求出点，点为抛物线上的一点，直线下方是否存在点使得？若存在，求出点的坐标． 【解答】解：（1）把，代入得： ， 解得， 抛物线的函数表达式为； 设直线的函数表达式为，把代入得： ， 解得， 直线的函数表达式为； （2）过作轴交于，如图： 设，则， ， ， ， 当时，取最大值4， 此时的坐标为； （3）直线下方存在点，使得，理由如下： 过作交的延长线于，过作轴，过作于，过作于，如图： 由（2）知， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 由，得直线函数表达式为， 联立，解得或， 的坐标为，． 4．（2023•章丘区一模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的解析式． （2）点是第三象限抛物线上一点，直线与轴交于点，的面积为12，求点的坐标． （3）抛物线上是否存在点使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）将，代入， ， 解得， ； （2）令，则， 解得或， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得或， ； （3）如图所示，当点在第一象限抛物线上时， ， ， 点和点关于对称轴对称， ，， 抛物线的对称轴为， ， 点的坐标为； 如图所示，当点在第四象限的抛物线上时，设与轴交于点 ， ， 设， ，， ，， 在中，，即， 解得， ， ，， 设直线的解析式为， 将，，代入得，， 解得； ， 联立直线和抛物线得，， 解得或 点的坐标为，． 综上所述，点的坐标为或，． 5．（2023•商河县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，与轴的另一个交点为． （1）求抛物线的解析式； （2）为直线上方抛物线上一动点．①连接交于点，若，求点的坐标；②是否存在点，使得的度数恰好是的2倍？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）在中， 令时，解得：， ， 令时，，解得：， ； 把，代入中得： ， 解得：， 抛物线的函数解析式为：； （2）①如图1，过点作轴于，交于点， 设点，， ， 轴， ， ， ， ， ， ，即：， ， 解得：，， 点为直线上方抛物线上的点， 的坐标为或； ②存在点，使得，理由如下： 如图2，过点作轴，交抛物线于点，过点作轴，交于点， ， ， ， 在中，，， ， ， 设点， 则，， ， 解得：， 点的坐标为； 存在点，使得，此时点． 6．（2023•杏花岭区校级模拟）综合与探究： 如图1，经过原点的抛物线与轴的另一个交点为，直线与抛物线交于，两点，已知点的横坐标为1，点为抛物线上一动点． （1）求出，两点的坐标及直线的函数表达式． （2）如图2，若点是直线上方的抛物线上的一个动点，直线交直线于点，设点的横坐标为，求的最大值． （3）如图3，连接，抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐