专题11 二次函数中的三角形、四边形、相似存在性问题-冲刺2023年中考数学压轴题型和方法全归纳突破(全国通用)

二次函数中的三角形、四边形、相似存在性问题 1．（2023•东胜区模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于，，三点，点是直线上方抛物线上的一个动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）动点运动到什么位置时，的面积最大，求此时点坐标及面积的最大值； （3）在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）， 设抛物线解析式为， 把、、两点坐标代入可得， ， 解得：， 抛物线解析式为； （2）点在抛物线上， 可设， 过作轴于点，交直线于点，如图， ， 直线解析式为， ， ， ， 当时，最大值为8， 当点坐标为时，的最大面积为8； （3）存在点，理由如下： ，，， ，， 点在轴上， ， 若以，，为顶点的三角形与相似，则与对应， 分两种情况： ①如答图2，， 则， 即， 解得， 或； ②， 则， 即， 解得， 或， 综上所述，存在轴上的点，使以，，为顶点的三角形与相似，这样的点一共4个：或，或． 2．（2023•香洲区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，是直线下方抛物线上一动点，连接，分别交和对称轴于点、．其中，是方程组的解． （1）求抛物线的解析式； （2）求的最大值； （3）连接，．是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）解方程组得：， 故抛物线的表达式为：； （2）对于，当时，，即点， 令，则或1， 即点、的坐标分别为：、， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 分别过点、作轴的平行线分别交于点、， 当时，，即， 设点，则点， 则， 轴， ， ， ，故有最大值， 当时，的最大值为：； （3）存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为，故设点， 由点、、的坐标得：，，， 当是斜边时，则， 解得：或， 即点的坐标为：或； 当是斜边时，则， 解得：， 即点； 当为斜边时，则， 解得：， 即点， 综上，点的坐标为：或或或． 3．（2023•东方一模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接，，，直线与抛物线的对称轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求四边形的面积； （3）是第一象限内抛物线上的动点，连接，，设点的横坐标为．当为何值时，的面积最大？并求出最大面积； （4）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）对于：． 令，得． 解得：或8， 故点的坐标为． 如图1，设抛物线的对称轴与轴交于点． 抛物线的解析式为， 顶点的坐标为． ； （3）由点、的坐标得：直线的解析式为． 如图2，过点作轴，交轴于点，交于点． 设点，． ． 当时，的面积最大，最大面积为32； （4）存在，点的坐标为或或或，理由如下： 为等腰三角形， 或或， 设， ，， ，，， 当时，， ，解得：， ； 当时，， ， 解得：或（舍去）， ； 当时，， 解得：或， 或． 综上所述，点的坐标为或或或． 4．（2023•城固县模拟）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求的值及该抛物线的对称轴； （2）若点在直线上，点是平面内一点．是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）抛物线与轴交于点， ， 解得：， ， 抛物线的对称轴为直线； （2）存在． ， ， 设直线的解析式为，把，分别代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 设， 点与关于直线对称， ， ， 当为正方形的边时，如图， 则，，，， ， 解得：， ，； 当为正方形的对角线时，如图， 则，， ， 解得：， ，； 综上所述，点的坐标为：，． 5．（2023春•冷水滩区校级月考）综合与探究． 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在点的左边），交轴于点，其中，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接，点为线段上一个动点，过点作轴交抛物线于点，当线段的值最大时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，是否在轴上存在点，使与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）由点的坐标得，，则，即点， 将点、的坐标代入抛物线表达式得： ，解得：， 则拋物线的函数表达式为：； （2）设直线的表达式为：， 则，解得：， 即，设点， 则点， 则， 故当时，的值最大，此时点的坐标为； （3）存在，理由： 由（2）得点坐标为， 由抛物线的表达式知，点的坐标为， 与，， 当时， ，， ， ， 又在轴上， 或， 故此种情形不成立； 当时， ，， 此时在的下方， ，同理可得：， 即， 则， 点坐标