专题07 一次函数中的存在性问题-冲刺2023年中考数学压轴题型和方法全归纳突破(全国通用)

一次函数中的存在性问题 1．（2021•永嘉县校级模拟）已知直线与轴、轴相交于、两点． （1）求、两点的坐标； （2）将直线进行平移，平移后的函数解析式为，并与轴、轴相交于、两点，当时，求直线的解析式； （3）在轴上有一点，使得是等腰三角形．请你直接写出所有满足条件的点的坐标． 【解答】解：（1）当时，，则点的坐标为：； 当时，，则点的坐标为：； （2）由题意得直线的解析式为：， 当时，，则点的坐标为：； 当时，，则点的坐标为：，； ， ， ，解得：或， 直线的解析式为或； （3）①当时，点在线段的垂直平分线上，如图： ，， ，， ， ，， ， ，即， ， ， ，； ②当时，如图： ，， ， ， ，， 或；； ②当时，点在线段的垂直平分线上，如图： ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； 综上可得点的坐标为，或，；或． 2．（2022•黑龙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，，的长是关于的一元二次方程的两个根，直线交于点，交轴于点，是直线上一动点，设． （1）求直线的解析式； （2）设的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）在（2）的条件下，当，且点在上方时，在第一象限是否存在点，使是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）解方程，得或， 、的长是关于的一元二次方程的两个实数根，， ，， ，， 设直线解析式为， ， 解得， 直线解析式为； （2）当时，， 即， ①当时， ， ， ； ②当时，， ． 综上所述，； （3）存在． 在上方， ， ， ， ， ． ， ， ， 若是等腰直角三角形，分三种情况， ①如图，当为直角时，， ， ， ； ②如图，当为直角时，， ， 轴， ； ③如图，当为直角时，， 同理可得轴， ， ． 综上所述，点的坐标为或或． 3．（2021•河北模拟）如图，直线分别交轴、轴于点、，直线分别交轴、轴于点、，，交点的坐标，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）当　　时，； （2）不等式的解集是　　； （3）在平面内是否存在一点，使得以，，，四点组成的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）将点的坐标代入得，，解得，故点， 从图象看，当时，， 故答案为：； （2）从图象看，不等式的解集是， 故答案为； （3）直线交轴于点，故点， 设点， ①当是边时， 点向右平移4个单位向上平移1个单位得到点，同样点向右平移4个单位向上平移1个单位得到， 则且，解得， 故点的坐标为或； ②当是对角线时， 由中点公式得：且，解得， 故点的坐标为． 综上，点的坐标为或或． 4．（2021•南浔区二模）如图1，已知在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标是，动点从点出发，沿线段向终点运动，同时动点从点出发，沿线段向终点运动．点，的运动速度均为1个单位秒，运动时间为秒．过点作交于点． （1）求直线的解析式； （2）在点，的运动过程中，当为直角三角形时，请求出的值； （3）在动点运动的过程中，在矩形内（包括边界）是否存在一点使以，，，为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出的坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】（1）解：矩形的顶点的坐标是， 的坐标是，的坐标是， 设直线的解析式为：， 则：，解得， 直线的解析式为：； （2）解：①当时，如图， 由题意可知，，三点共线， ，分别是，的中点， 秒； ②当时，如下图，由题意可知，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 解得， 经检验：是原方程的根，且符合题意， 当秒或2秒时，为直角三角形． （3）解：由题意可知的坐标为， ①如图，当在左侧时： ， 可知的坐标为， 菱形， ，即， ， 解得，（舍去）， 的坐标为； ②如下图，当在右侧时： ， 可知的坐标为， 菱形， ，即， ， 解得，（舍去）， 的坐标为； 的坐标为或时，以，，，为顶点的四边形是菱形． 5．（2021•永嘉县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，把沿翻折，点恰好落在边的点处，为折痕． （1）求线段的长； （2）求直线的解析式； （3）若是射线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）对于直线， 当时，，当时，， ，， 在直角中，； （2）由翻折可知：， ，，， 设，则．， 在中，由勾股定理得， 解得：， 即，则， 设直线解析式为， 将点，代入， 可得， 解得：，， 直线的解析式是； （3）①当为矩形的边时，如图所示矩形， 则有， 点在直线上， 设，则， ， ， ， ， 解得， ， ，， 根据平移规律可得； ②当为矩形的对角线时，如图所示矩形， 此时有， 即， 解得或（舍去）