专题18 二次函数中的新定义-冲刺2023年中考数学压轴题型和方法全归纳突破(全国通用)

二次函数中的新定义 1．（2023•南山区校级一模）我们定义【，，】为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是【2，，5】，函数的“特征数”是【0，1，2】，函数的“特征数”是【0，，0】． （1）若一个函数的特征数是【1，，1】，将此函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是 　【1，0，】　． （2）将“特征数”是【0，，】的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是 　　． （3）当“特征数”是【1，，】的函数在直线和直线之间的部分（包括边界点）的最高点的纵坐标为5时，求的值． （4）点关于轴的对称点为点，点关于轴的对称点为点．当若（3）中的抛物线与四边形的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3时，直接写出的值．为常数） 【解答】解：（1）函数的特征数是【1，，1】， 函数为， 将函数向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到， 函数的“特征数”是【1，0，】， 故答案为：【1，0，】； （2）函数的“特征数”是【0，，】， 函数解析式为， 将函数的图象向上平移2个单位得新函数解析式为， 故答案为：； （3）“特征数”是【1，，】的函数解析式为， 抛物线的顶点为，对称轴是直线， 由抛物线的性质可知，当与时，相等且， ①当，即时，抛物线的最高点在处取得， ， 解得，不符合题意，舍去； ②当，即时，抛物线的最高点在处取得， ， 解得或（舍去）， ③当，即时，抛物线的最高点在取得， ， 解得（舍去）或（舍去）， ④当，即时，抛物线的最高点在处取得， ， 解得， 综上所述，的值为或； （4）由（3）知抛物线的顶点坐标为，且， ①当，即时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意； ②当，即时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意； ③，即时， 需要分以下两种情况： 抛物线与直线有两个交点，如图， 两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3， ， ，，，； ， 解得， 抛物线与矩形相邻两边有交点，如图， 两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3，到轴距离与到轴距离都为2， 到轴距离为1，即， ， ， 解得（舍去）或； ④当时，如图： 两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3， ， 又， ， ， ， 解得或（舍去）， 综上所述，的取值为或1或． 2．（2022•株洲）已知二次函数． （1）若，，且该二次函数的图象过点，求的值； （2）如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图象与轴相交于不同的两点，、，，其中、，且该二次函数的图象的顶点在矩形的边上，其对称轴与轴、分别交于点、，与轴相交于点，且满足． ①求关于的一元二次方程的根的判别式的值； ②若，令，求的最小值． 阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式△时，关于的一元二次方程的两个根、有如下关系：，”．此关系通常被称为“韦达定理”． 【解答】解：（1）当，时，， 把，代入得， ， ； （2）①方法（一由得， ，， ， 抛物线的顶点坐标为：，， ，， ， ， ， ； （方法二）由得， ，， ， 下面过程相同； ②， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， 即时，． 3．（2022•武侯区模拟）【阅读理解】 定义：在平面直角坐标系中，点为抛物线的顶点，直线与抛物线分别相交于，两点（其中点在点的右侧），与抛物线的对称轴相交于点，若记，则称是直线与抛物线的“截积”． 【迁移应用】 根据以上定义，解答下列问题： 如图，若直线的函数表达式为． （1）若抛物线的函数表达式为，分别求出点，的坐标及的值； （2）在（1）的基础上，过点作直线的平行线，现将抛物线进行平移，使得平移后的抛物线的顶点落在直线上，试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； （3）设抛物线的函数表达式为，若，，且点在点的下方，求的值． 【解答】解：（1）直线的函数表达式为①， 抛物线的函数表达式为②， 联立①②解得，或， ，，， 针对于直线，令，则， ， 抛物线的函数表达式为， 顶点， ，； （2）是定值，其值为； 由（1）知，， ， 直线的解析式为①， 设平移后的抛物线的顶点坐标为， 抛物线的函数表达式为， 平移后的抛物线的解析式为②， ， ， 直线的函数表达式为①， 联立①②整理得，， 或， ，，， ， ， 即是定值，其值为． （3）抛物线的函数表达式为①的顶点坐标为， ， ， ， ， ， 直线的函数表达式为②， 联立①②整理得，， 设，，，， ，， ， ， ， ， 或， 4．（2023春•袁州区校级月考）定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线为常数）对称，则称该函数为“函数”． （1）在下列函数中，是“函数”的有 　②③　． ①； ②； ③； ④． （