2023年中考数学压轴题训练——二次函数与相似三角形

2023年中考数学压轴题训练——二次函数与相似三角形 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，3）．且点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上第一象限内的一个点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连PO、PB，如果把△POB沿OB翻转，所得四边形POP′B恰为菱形，那么在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QAB与△POB相似？若存在求出点Q的坐标；若不存在，说明理由； (3)若（2）中点Q存在，指出△QAB与△POB是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标． 2．如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC中，∠ABC＝90°，B(4，0)，C(8，0)，tan∠ACB＝2，抛物线y＝ax2+bx经过A，C两点． (1)求点A的坐标及抛物线的解析式； (2)如图2，过点A作AD⊥AB交BC的垂线于点D，动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PE⊥AB交AC于点E． ①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG取得最大值？最大值是多少？ ②连接EQ，在点P，Q运动过程中，t为何值时，使得△CEQ与△ABC相似？ 3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（﹣1，0），B两点，且与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴是直线x＝1 (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线与直线y＝﹣x﹣1交于A、E两点，P点在x轴上且位于点B的左侧，若以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似，求点P的坐标； (3)F是直线BC上一动点，M为抛物线上一动点，若△MBF为等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标． 4．如图，以D为顶点的抛物线yx2＋bx＋c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝﹣x＋6 (1)求抛物线的表达式； (2)在直线BC上有一点P，使PO＋PA的值最小，求点P的坐标； (3)在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝a＋bx＋c的对称轴是直线x＝﹣且经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B． (1)求抛物线解析式； (2)在第四象限的抛物线上找一点M，过点M作MN垂直x轴于点N．若△AMN与△ABC相似，求点M的坐标； (3)如图2，P为抛物线上一点，横坐标为p，直线EF交抛物线于E，F两点，其中∠EPF为直角，当p为定值时，直线EF过定点D，求随着p的值发生变化时，D点移动时形成的图像解析式． 6．如图所示，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积； （3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由． 7．如图，抛物线与x轴交于点和点B．与y轴交于点，连接，N是线段上方抛物线上一点，过点N作于M． （1）求抛物线的解析式和点B的坐标； （2）求线段的最大值； （3）若点P是y轴上的一点，是否存在点P，使以B，C，P为顶点的三角形与相似？若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由， 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点A和点B，且其顶点为D． （1）求抛物线的表达式； （2）求∠BAD的正切值； （3）设点C为抛物线与x轴的另一个交点，点E为抛物线的对称轴与直线y＝x﹣3的交点，点P是直线y＝x﹣3上的动点，如果△PAC与△AED是相似三角形，求点P的坐标． 9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A（﹣2，0），B（1，0）和点D（﹣3，n），与y轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式及点D的坐标； （2）将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处，求△ODE的面积； （3）如果点P在y轴上，△PCD与△ABC相似，求点P的坐标． 10．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0）（如图），经过点A的抛物线y＝x2+bx+5与y轴相交于点B，顶点为点C． （1）求此抛物线表达式与顶点C的坐标； （2）求∠ABC的正弦值； （3）将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，且△DCA与△ABC相似，求平移后的新抛物线的表达式． 11．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣，0）、B两点，交y轴于点C（0，﹣