精品解析：山东省青岛市西海岸新区2022-2023学年高一下学期期中数学试题

2022—2023学年度第二学期期中学业水平检测 高一数学试题 本试卷共6页，22题，全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂层. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 已知向量，，若与垂直，则实数t的值为（ ） A. 0 B. C. D. 3. 如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 三棱台 4. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 1或3 5. 已知，，复数，，在复平面内对应点为，，，若，，三点共线，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 4 6. 在矩形ABCD中，M是BC的中点，N是CD的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 7. 在中，CD为角C的平分线，若，，则等于（ ） A. 0 B. C. D. 8. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题. 每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9. 若复数满足，则（ ） A. B. 是纯虚数 C. D. 若是关于x的实系数方程的一个复数根，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 向量，能作为平面内所有向量的一组基底 B. 已知中，点P为边AB的中点，则必有 C. 若，则P是的垂心 D. 若G是的重心，则点G满足条件 11. 已知，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为等腰或直角三角形 C. 若为锐角三角形，若，则 D. 若，，，则有两解 12. 已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则（ ） A. 的周期为 B. 若，则 C. 将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为奇函数 D. 函数在上有1个零点 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 如图所示，等腰直角三角形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的周长为__________. 14. 已知向量，满足，，，则向量，的夹角为__________. 15. 化简： ________. 16. 某公园有一个人工湖，若要测量如图所示的人工湖的口径A、B两点间的距离，现在人工湖岸边取C、D两点，测得m，，，，则A、B两点的距离为__________m. 四、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知，都是锐角，， . （1）求和的值； （2）求的值. 18. 已知半圆圆心为O，直径，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示. （1）求在上投影向量的坐标； （2）若，当y取得最小值时，求点P的坐标及y的最小值. 19. 在复平面内，O是原点，向量对应的复数，. （1）若点A位于第四象限，求m的取值范围； （2）若点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数； （3）若，且，求的取值范围. 20. 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答. 问题：在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________. （1）求角C； （2）若的内切圆半径，，求的外接圆半径R. 21. 已知向量，，记函数. （1）将化形式，并求最小正周期T； （2）求函数在区间上的值域； （3）将函数图象向右平移个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有100个最大值，求a的取值范围. 22. 对于函数，若存在非零常数M，使得对任意，都有成立，我们称函数为“M函数”；对于函数，若存在非零常数M，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“严格M函数”. （1）求证：，是“M函数”； （2）若函数，是“函数”，求k的取值范围； （3）对于定义域为R函数对任意的正实数M，均是“严格M函数”，若，求实数a的最