2023年普通高等学校招生星云线上统一模拟考试Ⅱ数学试卷

绝密★启用前 2023年普通高等学校招生星云线上统一模拟考试Ⅱ 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，，，则 A． B． C． D． 2． A． B． C． D． 3．设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则 A． B． C． D． 4．现代建筑物的设计中通常会运用各种曲线、曲面，将美感发挥到极致．如图所示是位于深圳的田园观光塔，它的主体呈螺旋形，高，结合旋转楼梯的设计，体现了建筑中的数学之美．某游客从楼梯底端出发一直走到顶部．现把该游客的运动轨迹投影到塔的轴截面，得到曲线方程为（，的单位：）．该游客根据观察发现整个运动过程中，相位的变化量为，则约为 A． B． C． D． 5．过三点，，的圆与直线交于，两点，则 A． B． C． D． 6．若曲线在点处的切线经过坐标原点，则 A． B． C．或 D．或 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上 一点，与的左支交于点．若，则的离心率的取值范围是 A． B． C． D． 8．从集合的非空子集中随机取出两个不同的集合，，则在的条件下，恰有个元素的概率为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．人口问题始终是战略性、全局性的问题．年末我国人口比上年末减少万人，为年来的首次人口负增长，其中生育率持续降低受到了人们的广泛关注．为促进人口长期均衡发展，国家制定了一系列优化生育政策：年正式全面开放二胎；年实施三孩生育政策，并配套生育支持措施．为了了解中国人均（单位：万元）和总和生育率以及女性平均受教育年限（单位：年）的关系，采用近十年来的数据绘制了散点图，并得到经验回归方程，，对应的决定系数分别为，，则 A．人均和女性平均受教育年限正相关 B．女性平均受教育年限和总和生育率负相关 C． D．未来三年总和生育率将继续降低 10．在正方体中，，则 A． B．与平面所成角为 C．当点在平面内时， D．当时，四棱锥的体积为定值 11．已知数列为公差为的等差数列，为公比为的正项等比数列．记 ，，，，则 参考公式： A．当时， B．当时， C． D． 12．在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．那么 A．存在旋转函数 B．旋转函数一定是旋转函数 C．若为旋转函数，则 D．若为旋转函数，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知复数为实数，则 ． 14．已知为抛物线的焦点，直线与交于，，与的另一个交点为，与的另一个交点为．若与的面积之比为，则 ． 15．设函数的定义域为，满足，．若，且在单调递增，则满足的的取值范围是 ． 16．三棱锥的各顶点都在半径为的球的球面上，，在平面内，，则球的球面与平面的交线长为 ；当三棱锥的体积取得最大值时，与平面所成角的正切值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分） 在中，点为边的中点，． （1）当时，求的面积； （2）求的最大值． ( P A B D C E )18．（12分） 如图，在四棱锥中，，，，为中点． （1）在棱上是否存在点，使得平面？说明理由； （2）若平面，，求平面与平面所成角的余弦值． 19．（12分） 记为数列的前项和．已知，． （1）求的通项公式； （2）记为数列的前项积，求的最大值． 20．（12分） 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，证明：存在唯一的极小值点，且． 21．（12分） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点，且在线段上． （1）求直线，的斜率之和； （2）设与交于点，证明：为定值． 22．（12分） 某区域中的物种拥有两个亚种（分别记为种和种）．为了调查该区域中这两个亚种的数目，某生物研究小组计划在该区域中捕捉个物种，统计其中种的数目后，将捕获的生物全