2023年南通中考数学 第26题新定义练习

2023年南通中考数学 第26题新定义练习 1．在平面直角坐标系中，直线经过和两点． （1）求直线的表达式； （2）如果横、纵坐标都是整数的点叫作整点，直线和直线关于轴对称，过点作垂直于轴的直线与和的区域为“”（不包含边界）． ①当时，求区域“”内整点的个数； ②如果区域“”内恰好有个整点，直接写出的取值范围． 2．点P到的距离定义如下：点Q为的两边上的动点，当PQ最小时，我们称此时PQ的长度为点P到的距离，记为．特别的，当点P在的边上时，． 在平面直角坐标系xOy中，． (1)如图1，若，，则 ， ； (2)在正方形OABC中，点． ①如图2，若点P在直线上，且，求点P的坐标； ②将抛物线向下平移个单位长度后得到的新抛物线记作图象W，若点P在图象W上，且满足的点P有且只有两个，请直接写出k的取值范围． 3．在平面直角坐标系xOy中，对于点和，给出如下定义：若，则称点Q为点P的“可控变点”． 例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点． (1)点的“可控变点”坐标为　　 ； (2)若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标是7，求“可控变点” Q的横坐标； (3)若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标的取值范围是，求实数a的取值范围． 4．在平面直角坐标系中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于对称轴对称的两点（点在点左侧），以为直径作．取线段下方的抛物线部分和线段上方的圆弧部分（含端点），组成一个封闭图形，我们称这种图形为“抛物圆”，其中线段叫做“横径”，线段的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段叫做“”，规定“纵径”长度和“横径”长度的比值叫做此“抛物圆”的“扁度”． (1)已知抛物线． ①若点A横坐标为，则得到的“抛物圆”的“横径”长为 ，“纵径”长为 ； ②若点A横坐标为t，用t表示此“抛物圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2时t的值； (2)已知抛物线，若点A在直线上，求“抛物圆”的“扁度”不超过3时a的取值范围． 5．面对新冠疫情，中国举全国之力采取了很多强有力的措施，将疫情及时控制，其中对感染者和接触者进行隔离治疗和观察有效地控制住病毒的传播，数学中为对两个图形进行隔离，在平面直角坐标系中，对“隔离直线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线满足且，则称直线l：是图形与的“隔离直线”．例如：如图1，直线l：是函数图象与正方形的一条“隔离直线”． (1)在直线，，中，是图1函数的图象与正方形OABC的“隔离直线”的为______； (2)如图2，第一象限的等腰直角三角形EDF的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是，与⊙O的“隔离直线”有且只有一条，求出此“隔离直线”的表达式； (3)正方形的一边在y轴上，其它三边都在y轴的右侧，点是此正方形的中心．若存在直线是函数的图象与正方形的“隔离直线”，求t的取值范围． 6．定义：若一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“完美点”．例如，点（1，1）是函数y＝x＋的图像的“完美点”． (1)分别判断函数y＝x＋4，y＝x2－2x的图像上是否存在“完美点”？如果存在，求出“完美点”的坐标；如果不存在，说明理由； (2)设函数（x＞0），y＝－x＋2b的图像的“完美点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值； (3)若函数y＝x2－2（x≥m）的图像记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图像记为W2．当W1，W2两部分组成的图像上恰有2个“完美点”时，直接写出m的取值范围． 7．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线（n为常数）对称，则把该函数称之为“函数”． (1)在下列关于x的函数中，是“函数”的是________（填序号）； ①，②，③ (2)若关于x的函数（h为常数）是“函数”，与（m为常数，）相交于A（，）、B（，）两点，A在B的左边，，求m的值； (3)若关于x的“函数”（a，b为常数）经过点（，1），且，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求t的值． 8．当抛物线(a、b、c为常数，c≠0)与x轴交于A，B两点时，以AB为边作矩形ABCD，使点C、点D落在直线y=c上，我们把这样的矩形ABCD叫做该抛物线的“相约矩形”． （1）①抛物线的“相约矩形”的周长为 ． ②当抛物线(c为常数)不存在“相约矩形”，则c的取值范围是 ． （2）已知抛物线经过点(2，0)，当该抛物线的“相约矩形”是正方形时，求出该抛物线所对应的函数表达式． （3）对于函数(a为常数)． ①当该函数的图象与x轴只有－个交点时，求出交点的坐标； ②我们把平面直角坐标系中